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Für unser Experiment erhalten wir dann mit $n=5$ und $k=4$ folgende Anzahl möglicher Kombinationen: $5^{4}=5\cdot5\cdot5\cdot5 =625$ Anwendungsbeispiel: Bei einem vierstelligen Handycode stehen für jede Stelle jeweils zehn Ziffern, nämlich von $0$ bis $9$, zur Verfügung. Vergleicht man den vierstelligen Code mit der Anzahl der zu ziehenden Kugeln ($k$) und die zehn möglichen Ziffern mit den Kugeln insgesamt ($n$), erhält man $10^{4} = 10000$ Möglichkeiten. ohne Beachtung der Reihenfolge Nun ziehen wir aus dem gleichen Urnenmodell wieder vier Kugeln. Die gezogene Kugel wird wieder nach jedem Zug in die Urne zurückgelegt. Diesmal spielt die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, allerdings keine Rolle. Ziehen mit/ohne Zurücklegen, mit/ohne Reihenfolge online lernen. Nach dreimaligem Durchführen dieses Experimentes erhalten wir wieder das im Folgenden abgebildete Ergebnis: Da die Reihenfolge der gezogenen Kugeln nicht beachtet wird, geht es grundsätzlich darum, wie viele Kugeln von welcher Farbe gezogen wurden. Somit zählen die ersten beiden Durchgänge als eine Möglichkeit.
Man zieht eine Kugel, registriert die Nummer, legt die Kugel zur Seite und wiederholt den Vorgang. Insgesamt sind 4 Züge möglich, dann ist die Urne leer. Wie viele Elemente enthält die Ergebnismenge (Anzahl aller Möglichkeiten)? Wie aus dem Baumdiagramm leicht abzulesen ist, verringert sich von Stufe zu Stufe die Anzahl der Äste um 1. Die aus dem Baumdiagramm abzulesende Gesetzmäßigkeit lässt sich verallgemeinern. Betrachtet man nun eine Urne mit n Kugeln nummeriert von 1 bis n und führt k Züge ohne zurücklegen durch, so gilt für die Anzahl der Möglichkeiten: Ein Produkt, bei dem jeder Folgefaktor um 1 erniedrigt wird, nennt man Fakultät. Satz: Beispiel: Ein Computerprogramm ist durch ein Passwort geschützt. Dieses Passwort besteht aus 4 unterschiedlichen Buchstaben. a)Wie viele Passwörter sind möglich? b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Code mit einem Versuch geknackt werden? Lösung:a)Es stehen alle 26 Buchstaben des Alphabets genau einmal zur Verfügung. Für den ersten Buchstaben des Wortes kommen alle 26 Buchstaben des Alphabets, für den zweiten nur noch 25 Buchstaben in Frage usw.
5. Aufgabe: Aus 24 Deutschen, 15 Amerikanern und 20 Franzosen werden zufällig zwei Personen ausgewählt. a) Auf wie viele Arten ist das möglich? 59 Personen 2 Personen werden "herausgegriffen" Wiederholung/Zürücklegen: nein Reihenfolge: ohne Bedeutung -> Untermenge Wir berechnen also: Taschenrechner: 1711 Möglichkeiten b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden willkürlich ausgewählten Personen Deutsche sind? -> 2 Deutsche Taschenrechner: 0, 161309 Amerikaner sind? -> 2 Amerikaner Taschenrechner: 0, 06137 c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden willkürlich Franzosen sind? -> 2 Franzosen Taschenrechner: 0, 11105 d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den beiden willkürlich genau 1 Deutscher und 1 Franzose ist? Ergebnis: 0, 2805 Wir hätten auch genauer wie folgt rechnen können: Da aber, kann es im Zähler des Bruches weggelassen werden. e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden willkürlich ausgesuchten Personen unterschiedlicher Nationalität sind?