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Mathematik > Funktionen Video wird geladen... Falls das Video nach kurzer Zeit nicht angezeigt wird: Anleitung zur Videoanzeige Inhaltsverzeichnis: In diesem Lerntext erklären wir dir die Vorgehensweise zur Berechnung der Umkehrfunktion einer linearen Funktion. Diese Vorgehensweise zeigen wir dir anhand mehrerer Beispiele. Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal Über 700 Lerntexte & Videos Über 250. 000 Übungen & Lösungen Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen Gratis Nachhilfe-Probestunde Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion lässt sich mithilfe weniger Schritte aufstellen. Nachfolgend siehst du die Vorgehensweise beim Berechnen der Umkehrfunktion einer linearen Funktion: Methode Hier klicken zum Ausklappen 1. Funktion nach $x$ auflösen. 2. $x$ und $f(x)$ vertauschen. Wenden wir diese beiden Schritte einmal auf ein Beispiel an: 1. Funktion nach $x$ auflösen $f(x) = 2 \cdot x +1~~~~~~|-1$ $f(x) - 1 = 2 \cdot x~~~~~|:2$ $\frac{f(x)}{2} - 0, 5 = x$ 2.
Wenn die beiden Paare als (x; f(x)) und (y; f(y)) gegeben sind (mit), so erhalten wir die beiden Formeln: Wir lösen die erste Formel zunächst nach n auf: und setzen sie in die zweite Formel ein: Jetzt lösen wir diese Formel nach m auf: Mit anderen Worten entspricht die Steigung einer linearen Funktion dem Verhältnis aus der Differenz der Funktionswerte zu der Differenz ihrer Argumente. y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen Kennen wir wiederum zwei Paare von Argument und Wert einer linearen Funktion, können wir ihre Steigung m berechnen. Wenn die beiden Paare als (x; f(x)) und (y; f(y)) gegeben sind (mit und beide ungleich 0), so erhalten wir die beiden Formeln: Jetzt lösen wir die erste Forml nach m auf: und setzen sie in die zweite Formel ein: Jetzt lösen wir diese Formel nach n auf: Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen. Eine lineare Funktion, deren Steigung m nicht gleich 0 ist, ist eine ein-eindeutige Abbildung zwischen ihrem Definitionsbereich und ihrem Wertebereich.
Mathematik > Funktionen Video wird geladen... Falls das Video nach kurzer Zeit nicht angezeigt wird: Anleitung zur Videoanzeige Inhaltsverzeichnis: In diesem Lerntext erklären wir dir, was eine Umkehrfunktion ist. Außerdem geben wir dir Beispiele, wie eine Umkehrfunktion gebildet werden kann und lösen Übungsaufgaben. Definition einer Umkehrfunktion Umkehrfunktionen ordnen, wie der Name schon sagt, die Variablen umgekehrt zu. Das bedeutet, dass $x$-Wert und $y$-Wert vertauscht werden. Dies ist nur möglich, wenn es für jeden Funktionswert ($y$) nur einen $x$-Wert gibt. Die umkehrbare (invertierbare) Funktion muss daher eineindeutig sein. Das heißt, dass unter Umständen der Definitionsbereich einer Funktion eingeschränkt werden muss, damit diese dann umkehrbar wird. Die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)$ wird mit $f^{\textcolor{red}{-1}} (x)$ gekennzeichnet. Die hochgestellte $\textcolor{red}{-1}$ ist das Zeichen für die Umkehrfunktion. Methode Hier klicken zum Ausklappen Eine Umkehrfunktion wird durch $f^{-1}(x)$ gekennzeichnet.
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In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Umkehrfunktion ist. Erforderliches Vorwissen Was ist eine Funktion? Einführungsbeispiel Gegeben ist der Funktionswert $y$ einer Funktion. Gesucht ist der dazugehörige $x$ -Wert. Beispiel 1 Du bist im Urlaub in den USA und willst Euro (€) in US-Dollar ($) umtauschen. Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen: $$ f\colon\; \text{Euro} x \longmapsto \text{US-Dollar} y $$ Die Funktion $f$ ordnet jedem Euro-Betrag $x$ einen Betrag $y$ in Dollar zu. Beim Shopping in New York entdeckst du ein schönes Smartphone. Du fragst dich, welchem Euro-Betrag der angegebene Preis entspricht. Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen: $$ f^{-1}\colon\; \text{US-Dollar} y \longmapsto \text{Euro} x $$ Die Funktion $f^{-1}$ ordnet jedem Dollar-Betrag $y$ einen Betrag $x$ in Euro zu. $f^{-1}$ heißt Umkehrfunktion von $f$. Umkehrfunktion bilden Beispiel 2 Bilde die Umkehrfunktion von $f\colon y = 2x$. Funktionsgleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen $$ \begin{align*} y &= 2x &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] \frac{1}{2}y &= x &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] x &= \frac{1}{2}y \end{align*} $$ $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ vertauschen $$ y = \frac{1}{2}x $$ Die Umkehrfunktion von $f\colon y = 2x$ ist $f^{-1}\colon y = \frac{1}{2}x$.
B. über das Grenzverhalten. Vorausgesetzt die Funktion hat in $D$ keine Definitionslücke: Funktion ableiten (muss auf $D$ differenzierbar sein) Ableitung > 0 (evtl. vereinzelte Stellen $=0$) $\Rightarrow$ Funktion streng monoton wachsend auf $D$ Ableitung < 0 (evtl. vereinzelte Stellen $=0$) $\Rightarrow$ Funktion streng monoton fallend auf $D$ Beispiel 1 Ist $f$ injektiv? $f:{\mathbb{R}\setminus\{0\}}{\mathbb{R}}{\frac{x^2+3x+3}{x^3}}$ $f$ ist differenzierbar auf $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, da es eine gebrochenrationale Funktion ist. $f'(x)=\frac{(2x+3)x^3-(x^2+3x+3)\cdot 3x^2}{x^6}=\frac{(2x+3)x-(x^2+3x+3)\cdot 3}{x^4}$ $=\frac{-x^2-6x-9}{x^4}=-\frac{x^2+6x+9}{x^4}$ Nenner $x^4$ ist für alle $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ größer Null, Zähler $x^2+6x+9$ stellt als Funktion eine nach oben geöffnete Parabel dar. Nullstellen: $x_{1, 2}=-3\pm\sqrt{3^2-9}=-3$ (doppelte Nullstelle). Also liegt der Scheitelpunkt auf der $x$-Achse. Also ist auch $x^2+6x+9$ für alle $x\in\mathbb{R}\setminus\{-3, 0\}$ größer Null und für $x=-3$ gleich Null (vereinzelte Stelle darf Null sein ($f$ hat hier eine Sattelstelle)).
Dass sie injektiv ist, bedeutet, dass für zwei reelle Zahlen u und v aus folgt, dass ist. Da eine lineare Funktion mit einer Steigung ungleich 0 surjektiv und injektiv ist, ist sie bijektiv. Es gibt deshalb zu ihr eine Umkehrfunktion. Rechenregeln für lineare Funktionen Formel Bedeutung Nullpunkt Steigung aus den bekannten Punkten (x; f(x)) und (y; f(y)) berechnen y-Achsenabschnitt aus den bekannten Punkten (x; f(x)) und (y; f(y)) berechnen Umkehrfunktion Nullpunkt einer linearen Funktion berechnen Den Nullpunkt einer linearen Funktion können wir direkt aus den Werten von m und n berechnen. Um hierfür eine Formel zu erhalten, setzen wir f(x 0) = 0 und lösen nach x 0 auf. Dabei gehen wir davon aus, dass m ungleich 0 ist. Ansonsten wäre jeder oder kein Wert der Funktion 0. Wir finden den Nullpunkt einer Funktion also immer an der Stelle. Steigung einer linearen Funktion berechnen Wenn wir mindestens zwei Paare von Argument und Wert einer linearen Funktion kennen, können wir ihre Steigung m berechnen.
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