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Wenn es um den Mohr'schen Spannungskreis geht, werden in der Regel folgende Aufgabentypen behandelt: (i) Ermittlung von Hauptspannungen (ii) Ermittlung der Spannungen in gedrehten Koordinatensystemen Gegeben sei der ebene Spannungszustand $\underline{\underline{\sigma}} = \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{pmatrix}$. Zu den typischen Aufgabentypen schauen wir uns folgende Lösungsschritte an (vgl. Rolf Mahnken, Lehrbuch der Technischen Mechanik – Elastostatik, Springer Verlag, 1. Auflage, 2015). Mohrscher Spannungskreis | Spannungen [Beispiel & Video] - Einfach 1a erlärt. Lösungsschritte zu (i): Achsen $\sigma-\tau$ zeichnen – $\tau$ positiv nach unten! Eintragen der Punkte: $P_x = ( \sigma_x; \ \tau_{xy})$ und $P_y = ( \sigma_y; \ -\tau_{xy})$ Schnittpunkt der Verbindungslinie $\overline{P_xP_y}$ mit $\sigma$-Achse liefert Kreismittelpunkt $M$ Kreis um $M$ mit Radius $\overline{MP_x}$ zeichnen Hauptspannungen $\sigma_1, \ \sigma_2$ aus Schnittpunkt mit $\sigma$-Achse abgreifen Doppelten Hauptspannungswinkel ablesen $2\varphi^*$ Lösungsschritte zu (ii): Verbindungen von $P_2$ mit $P_x$ und $P_y$ legen $x-y$-Achsen fest!
Zu jeder Fläche können wir nun einen Spannungsvektor bestimmen, der allerdings nicht senkrecht zur Fläche stehen muss. Dabei betrachten wir nur die Flächen mit positiven Normalenvektoren. Wir erhalten also die drei Vektoren. Jeder dieser Vektor hat wieder Komponenten in x, y und z-Richtung. Diese wollen wir jetzt in einer Matrix zusammenstellen, um die Spannungen für das gesamte Volumenelement zu beschreiben. Diese Matrix wird Spannungstensor Sigma genannt. Spannungstensor lesen Die Indizierung der einzelnen Komponenten folgt dabei einem einfachen Schema: Der erste Index steht für die Richtung der einzelnen Komponente. Der zweite Index steht für die Richtung des Normalenvektors. Das heißt wir übernehmen hier den Index des Vektors. Betrachten wir also, dann beschreibt dieser Wert die Spannung der x-Komponente zur Fläche, die in z-Richtung zeigt. Weiterhin unterscheiden wir dabei in Normalspannungen Sigma und Schubspannungen Tau. Normalspannungen sind die Spannungen, die auch in Richtung der Fläche gehen, alle anderen sind Schubspannungen.
Als letztes wollen wir noch herausfinden, wie wir das System drehen müssen, damit wir den maximalen Wert für die Schubspannung erhalten. Du kannst dir sicher denken, dass wir dafür wieder den Spannungskreis betrachten. Jetzt nutzen wir auch aus, dass wir den aktuellen Spannungszustand eingezeichnet haben. Dadurch, dass wir uns nicht im Hauptspannungszustand befinden, ist das System bereits um den Winkel phi gedreht. Wir suchen allerdings den Winkel alpha. Der ergibt sich auch direkt aus dem Spannungskreis zu: ° Zwei Phi erhalten wir einfach, indem wir ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Wir sehen schnell den Zusammenhang: Und damit erhalten wir: ° ° Berechnung des Winkels Alpha Im Mohrschen Spannungskreis tragen wir allerdings das doppelte des Winkels an. Dementsprechend müssen wir das System nur um drehen. Das heißt, wir erhalten die maximale Schubspannung, wenn wir das System um 26, 565 Grad drehen. In der Regel wird allerdings versucht diesen Fall zu vermeiden, da Werkstoffe häufig eine geringere Belastbarkeit bei Schubspannungen aufweisen.
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