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\dfrac{n! }{(2n)! Katalanische Zahlen: Eigenschaften und Anwendungen - Fortschritte in Mathematik. }(t+1)^{2n} dt\\ &=\displaystyle \dfrac{(-1)^n}{2^n\binom{2n}{n}}\left[\dfrac{(t-1)^{2n+1}}{2n+1}\right]_{-1}^1\\ &=\displaystyle \dfrac{(-1)^n}{2^n\binom{2n}{n}}\dfrac{-(-2)^{2n+1}}{2n+1}\\ &=\displaystyle \dfrac{2^{n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}} \end{array} Endlich haben wir: \langle L_n |L_n \rangle = \dfrac{\binom{2n}{n}}{2^n} \dfrac{2^{n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}} = \dfrac{2}{2n+1} Frage 4: Wiederholungsbeziehung Wir können das schreiben, dank der Tatsache, dass der L i bilden eine Basis und das XL n ist ein Polynom vom Grad n+1. XL_n(X) = \sum_{k=0}^{n+1} a_kL_k(X) Allerdings stellen wir fest: \langle XL_n |L_k \rangle = \langle L_n |XL_k \rangle mit Grad (XL k) = k + 1. Wenn also k + 1 < n, dh k < n – 1: XL_k \in vector(L_0, \ldots, L_k) \subset L_n^{\perp} dann, a_k = \langle XL_n |L_k \rangle = \langle L_n |XL_k \rangle = 0 Wir können daher schreiben: XL_n(X) = aL_{n-1}(X) + bL_n(X) + cL_{n+1}(X) Wenn wir uns die Parität der Mitglieder ansehen, erhalten wir, dass b = 0.
Hier ist die Aussage einer Übung, die die Legendre-Polynome verwendet, von denen wir verschiedene Eigenschaften demonstrieren werden. Es ist eine Familie klassischer Polynome. Wir werden diese Übung daher in das Kapitel über Polynome stellen. Dies ist eine Hochschulübung im zweiten Jahr.
Jean-Michel Blanquer kündigte es an: Mathe feiert ein großes Comeback im gemeinsamen Kern, und zwar ab Beginn des Schuljahres 2022. Hier ist der nächste Schritt: die Ankündigung des 1ère-Programms für das kommende Schuljahr Was ist in diesem Programm?
Ich schlage auch vor, diese Bonusfrage für Sie zu erledigen, indem Sie die gesamte Serie verwenden. Zeigen Sie, dass: \dfrac{1}{1-2xt+t^2} = \sum_{n=0}^{+\infty}P_n(x)t^n, |t| < 1, |x| \leq 1 Hat dir diese Übung gefallen?
Dann erhalten wir durch Identifizieren von X in 1: Nun betrachten wir die Terme des höchsten Grades, also n+1, die wir haben \dfrac{\binom{2n}{n}}{2^n} = c \dfrac{\binom{2n+2}{n+1}}{2^{n+1}} Vereinfachend erhalten wir also: dann, Wovon XL_n(X) = \dfrac{n+1}{2n+1}L_{n-1}(X) + \dfrac{n}{2n+1}L_{n+1}(X) Und wenn wir alles auf dieselbe Seite stellen und mit 2n+1 multiplizieren, haben wir: (n+1)L_{n+1} - (2n+1)xL_n +n L_{n-1} = 0 Aufgabe 5: Differentialgleichung Wir notieren das: \dfrac{d}{dx} ((1-x^2)L'_n(x)) = (1-x)^2L_n''(x) -2xL'_n(X) Was sehr nach einem Teil der Differentialgleichung aussieht. Außerdem ist dieses Ergebnis höchstens vom Grad n.
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