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Lineare Abbildungen, Kern und Bild - YouTube
Aufgabe: Im Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \) seien die Vektoren \( v_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \) und \( w_{1}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), w_{2}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), w_{3}=\left(\begin{array}{r}4 \\ 1 \\ -3\end{array}\right) \) gegeben. a) Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung \( \Phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gibt mit \( \Phi\left(v_{i}\right)=w_{i} \) für \( i=1, 2, 3 \). b) Bestimmen Sie Kern \( \Phi \), Bild \( \Phi \) und deren Dimensionen. c) Zeigen Sie, dass \( \Phi \circ \Phi=\Phi \) ist. Lineare Abbildungen, Kern und Bild – Mathe Krieger. Problem/Ansatz: War leider nicht so meine Aufgabe. Habe nach langer Bedenkzeit immer noch nichts raus.
Wir skizzieren noch einen etwas anderen Beweis des Korollars, der direkt Theorem 6. 43 und das folgende einfache Lemma benutzt. 7. 25 Sei \(f\colon V\to W\) ein Vektorraum-Homomorphismus. Seien \(v_1, \dots, v_n\in V\) linear unabhängig. Wir schreiben \(w_i:= f(v_i)\). Dann sind äquivalent: Die Abbildung \(f\) ist injektiv. Die Familie \(w_1, \dots, w_n\) ist linear unabhängig. Sei nun \(f\colon V\to W\) wie im Korollar ein Homomorphismus zwischen Vektorräumen derselben Dimension \(n\), und sei \(v_1, \dots, v_n\) eine Basis. Lineare abbildung kern und bilderberg. Ist \(f\) injektiv, so sind die Bilder \(f(v_i)\) nach dem Lemma ebenfalls linear unabhängig, bilden also nach Theorem 6. 43 eine Basis. Damit enthält \(\operatorname{Im}(f)\) ein Erzeugendensystem, \(f\) ist folglich surjektiv. Ist andererseits \(f\) surjektiv, so bilden die \(f(v_i)\), die offenbar das Bild von \(f\) erzeugen, ein Erzeugendensystem von \(W\), das aus \(\dim (W)\) Elementen besteht, also eine Basis. Nach dem Lemma ist \(f\) injektiv. Für Abbildungen der Form \(\mathbf f_A\) für eine Matrix \(A\) folgt der Satz auch unmittelbar aus Korollar 5.
Die Dimension des Kerns wird auch als Defekt bezeichnet und kann mit Hilfe des Rangsatzes explizit berechnet werden. Verallgemeinerungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Universelle Algebra [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In der universellen Algebra ist der Kern einer Abbildung die durch induzierte Äquivalenzrelation auf, also die Menge. Wenn und algebraische Strukturen gleichen Typs sind (zum Beispiel und sind Verbände) und ein Homomorphismus von nach ist, dann ist die Äquivalenzrelation auch eine Kongruenzrelation. Umgekehrt zeigt man auch leicht, dass jede Kongruenzrelation Kern eines Homomorphismus ist. Lineare abbildung kern und bild in english. Die Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Identitätsrelation auf ist. Kategorientheorie [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In einer Kategorie mit Nullobjekten ist ein Kern eines Morphismus der Differenzkern des Paares, das heißt charakterisiert durch die folgende universelle Eigenschaft: Für die Inklusion gilt. Ist ein Morphismus, so dass ist, so faktorisiert eindeutig über.
Kern und Bild einer linearen Abbildung - YouTube
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