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Gauß-Jordan-Algorithmus, Lineare Gleichungssysteme lösen (6:41 Minuten) Einige Videos sind leider bis auf weiteres nicht verfügbar. Einleitung Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist ein mathematischer Algorithmus, mit dem sich die Lösung eines linearen Gleichungssystems berechnen lässt. Der Algorithmus ist eine Erweiterung des gaußschen Eliminationsverfahrens, bei dem in einem zusätzlichen Schritt das Gleichungssystem auf die reduzierte Stufenform gebracht wird. Algorithmensammlung: Numerik: Gauß-Jordan-Algorithmus – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Dann lässt sich dann die Lösung direkt ablesen. Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist nach Carl Friedrich Gauß und Wilhelm Jordan benannt. Eine alternative Formel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems ist die Cramersche Regel. Das Verfahren Man kann ein lineares Gleichungsystem in einer Matrix darstellen, indem man die Koeffizienten der einzelnen Gleichungen in eine Matrix schreibt. $$ \begin{matrix} x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 0 \\ 4 x_1 & + & 2 x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ 9 x_1 & + & 3 x_2 & + & x_3 & = & 3 \end{matrix} \qquad\qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 & 3 \end{array}\right] Die Matrix wird auch Koeffizientenmatrix genannt.
Stufenform heißt, dass pro Zeile mindestens eine Variable weniger auftritt, also mindestens eine Variable eliminert wird, indem die Zeile so umgeformt wird, dass der Koeffizient der Variablen Null ist. Im obigen Beispiel würde man b 1, c 1 b_1, c_1 und c 2 c_2 eliminieren, in der dritten Zeile ist dann nur noch die Variable z z. Zum Erreichen der Stufenform sind drei Umformungen zulässig: Es können (komplette) Zeilen vertauscht werden, eine Zeile kann mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden oder es darf, wie beim Additionsverfahren, eine Zeile oder das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert werden. Im zweiten Schritt werden ausgehend von der letzten Zeile, in der sich nur noch eine Variable befindet, die Variablen ausgerechnet und in die darüberliegende Zeile eingesetzt. Ein lineares Gleichungssystem kann eine, mehrere oder keine Lösung haben. Gauß jordan verfahren rechner biography. Diese Unterscheidung kann schon nach der Vorwärtselimination getroffen werden, indem die letzte Zeile betrachtet wird (siehe weiter unten).
Konkret bedeutet es, dass man folgende Umformungen durchführen darf, ohne das sich dadurch die Lösung des LGS verändert: Das Vertauschen zweier Zeilen Das Multiplizieren einer Zeile mit einem Wert ungleich Null Das Addieren des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile Gauß-Jordan-Algorithmus Der Gauß-Jordan-Algorithmus sagt uns in welcher Reihenfolge wir die elementaren Zeilenumformungen anwenden müssen. Befolgt man diesen Anweisungen, so erhält man automatisch eine Lösung des LGS, vorausgesetzt das LGS ist lösbar. Ablauf: Vertausche die Zeilen so, dass in der ersten Zeile an erster Stelle keine Null steht. Dividiere die erste Zeile durch die erste Zahl in dieser Zeile. Gauß-Jordan-Algorithmus - Abitur Mathe. Damit hat man an erster Stelle eine Eins stehen. Subtrahiere von der zweiten Zeile ein Vielfaches der ersten Zeile so, dass als Ergebnis in zweiten Zeile die erste Zahl zu Null wird. Wiederhole das Gleiche mit erster und dritter, erster und vierter, erster und n-ten Zeile. Nach diesem Schritt, steht in der ersten Spalte oben eine Eins und die restlichen Einträge sind Null.
Beispiel: x x + 2 y y + 3 z z = 2, hier: a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3 a_1 = 1, \, a_2 = 2, \, a_3 = 3 und e 1 = 2 e_1 = 2 x x + y y + z z = 2 3 x x + 3 y y + z z = 0 Es werden schematisch nur die Koeffizienten ( a, b, c, e) (a, \, b, \, c, \, e) geschrieben: Jetzt wird so umgeformt, dass b 1 b_1 und c 1 c_1 Null werden, indem man geeignete Vielfache der ersten Gleichung zur zweiten und dritten Gleichung addiert. Den Multiplikator, mit dem man die Zeile multiplizieren muss, erhält man, indem man die erste Zahl der Zeile, aus der das Element elimiert werden soll, durch die Zahl teilt, die sich in der Zeile darüber an der gleichen Position befindet (hier: 1/1=1, 3/1=3). Da das Element verschwinden soll, muss die Zahl noch mit (-1) multipliziert werden, so dass sie negativ wird. Gauß jordan verfahren rechner news. Zu Zeile 2 wird das (-1)-fache und zu Zeile 3 das (-3)-fache von Zeile 1 addiert. Damit c 2 c_2 Null wird, wird ein Vielfaches von Zeile 2 zu Zeile 3 addiert, in diesem Fall das (-3)-fache: Falls die Zahl, durch die zur Berechnung des Multiplikators dividiert wird (hier für die ersten beiden Zeilen die Zahl 1, beim dritten Mal die Zahl (-1)), Null ist, wird diese Zeile mit einer weiter unten liegenden vertauscht.
Gau-Jordan-Algorithmus ben Matheseitenberblick Gau-Jordan-Algorithums ben Auf dieser Seite kann der Gau-Jordan-Algorithmus zum Lsen von linearen Gleichungssystemen mit der (gegebenenfalls erweiterten) Koeffizientenmatrix interaktiv gebt werden. Bei unterbestimmten Gleichungssystemen kann abschlieend die Lsung parametrisiert werden (z. B. fr die Schnittgerade zweier Ebenen). Geben Sie selber eine Matrix ein oder lassen Sie eine fr einen typischen Kontext erzeugen. Man mu stets angeben, welche Umformungen durchgefhrt werden sollen. Diese knnen dann entweder vom Programm ausgefhrt oder selbst vorgenommen werden. Wahlweise wird die Sinnhaftigkeit der Schritte beurteilt. Die Zeilen werden in den Umformungsangaben mit rmischen Ziffern referenziert, deren Vielfache mit normalen Ziffern. Man schreibt rechts neben die Zeile die gewnschte Operation. Beispiele: +3II (addiert das Dreifache der 2. Gauß jordan verfahren rechner baseball. Zeile zur aktuellen Zeile), 2I-5III (subtrahiert das 5fache der 3. Zeile vom 2fachen der 1.
Damit auch in diesem Eintrag der Matrix eine Null steht, ziehst du nun die Hälfte der zweiten Zeile von der dritten ab ( I I I − 1 2 ⋅ I I) \left( \mathrm{III} - \frac12 \cdot\mathrm{II}\right): Damit ist deine Matrix jetzt in Zeilenstufenform, damit kannst du jetzt leicht die Lösung des Gleichungssystems bestimmen. Wie das geht, siehst du am besten, wenn du die Matrix nun wieder in der ursprünglichen Darstellung betrachtest: Indem du Gleichung I I I \mathrm{III} durch − 3 -3 teilst, erhältst du für z z die Lösung z = 2 \mathbf{z = 2}. Online-Rechner: Gauß Verfahren für lineare Gleichungsysteme mit einer beliebigen Anzahl von Variablen. Diesen Wert kannst du nun in die anderen beiden Gleichungen einsetzen: Hier kannst du jetzt Gleichung I I \mathrm{II} lösen, indem du erst 2 2 subtrahierst: − 7 y = 7 -7y = 7 und dann durch − 7 -7 teilst: y = − 1 \mathbf{y = -1}. Auch diesen Wert kannst du jetzt in Gleichung I \mathrm{I} einsetzen: Wenn du diese Gleichung nach x x auflöst, erhältst du x = 1 x = 1. Die Lösung des Gleichungssystems ist also insgesamt: Gauß-Jordan-Verfahren Das Gauß-Jordan-Verfahren ist eine Abwandlung des Gaußverfahrens.
Lesezeit: 7 min Lizenz BY-NC-SA Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus ist ein Schema zur Lösung linearer Gleichungssysteme gegeben, das sehr übersichtlich in der Anwendung ist. Das Lösungsprinzip setzt den Gedanken der Umformung des LGS in eine Dreiecksform konsequent fort. Das Ziel besteht jetzt in der Umformung in eine Diagonaldeterminate, in der nur die Diagonalelemente mit 1, alle übrigen mit 0 besetzt sind: \(\begin{array}{l}I. & 1 \cdot x\, \, \, \, + \, \, \, \, 0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, \, \, \, \, 0 = c_1^*\\II. & 0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, \, 1 \cdot y\, \, \, \, + \, \, \, \, \, \, \, 0 = c_2^* & \\III. & 0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, \, 0\, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, 1 \cdot z = c_3^* & \end{array}\) Gl. 107 Der Nutzen liegt auf der Hand: in jeder Gleichung kommt nur noch eine Unbekannte vor, die zudem noch mit dem Faktor 1 multipliziert vorliegt. Es gilt also: \(\begin{array}{l} I. & x\, = c_1^* \\ II. & y = c_2^* & III. & z = c_3^* & \end{array}\) Gl.
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