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Um den Abstand eines Punktes zu einer Geraden im dreidimensionalen Raum zu berechnen, verwendet man in hessischen Grundkursen bevorzugt das Lotfußpunktverfahren. Der Vorteil gegenüber einer Formel liegt darin, dass man gleichzeitig den Lotfußpunkt erhält, also den Punkt auf der Geraden, auf den man zusteuern müsste, um auf kürzestem Weg vom Punkt außerhalb zur Geraden zu kommen. Die Formel dagegen liefert nur die Länge des Weges – manchmal reicht das, aber nicht immer. Auf dieser Seite wird das Verfahren mit einer Hilfsebene behandelt. Das Verfahren mit einem laufenden Punkt finden Sie hier. Die Zeichnung veranschaulicht die Vorgehensweise: Vorgehensweise bei der Berechnung des Abstandes Punkt/Gerade Erstelle Hilfsebene $H$ durch $P$, die senkrecht auf $g$ steht. Abstand punkt gerade lotfusspunktverfahren. Berechne den Schnittpunkt $F$ (Fußpunkt) von $H$ mit $g$. Berechne den Abstand $d=\left|\overrightarrow{PF}\right|$. Beispiel Gesucht ist der Abstand des Punktes $P(10|5|7)$ von der Geraden $g\colon \vec x=\begin{pmatrix}-2\\1\\7\end{pmatrix}+s\, \begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}$.
Das ist ja gar nicht komplizierter als die HNF, worin liegt denn der Vorteil der HNF? Okay mache ich.. heißt das auch so "Normalenbedingung"? In meinem Mathebuch gibt es so einen Begriff nicht im Stichwortverzeichnis. 02. Abstand Punkt - Gerade: Lösungen der Aufgaben. 2008, 23:11 OK, das stimmt nun. -------- Nochmals: Die HNF ist schneller, wenn man nur den Abstand zu berechnen hat! Bei den Stichworten suche eventuell unter Normale Normalvektor Normalvektorform (der Ebenengleichung) - Koordinatenform Normalabstand Orthogonalität Normalgerade Normalebene Kreuzprodukt (Vektorprodukt) Gemeinlot (kürzester Abstand kreuzender Geraden) Skalares Produkt (=0 bei orthogonalen Vektoren) Winkel zweier Vektoren (cos-phi Formel) 03. 2008, 13:13 Okay, das mache ich dann. Danke:D
01. 12. 2008, 21:34 gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten » Lotfußpunktverfahren mit Ebene Hallo, funktioniert dieses Verfahren genauso wie bei Abstand von Gerade zu Punkt.. wo man auch den Lotfußpunkt fällen muss?? 01. 2008, 22:38 mYthos Was willst du genau machen? Und wo spielt sich der Vergleich mit der Geraden und dem Punkt ab, in R2 oder R3? Brauchst du nur den Abstand oder auch den Lotfußpunkt? mY+ 02. 2008, 18:27 Also ich schreibe am Freitag einen Test über Ebenen und im Buch steht dazu eine Aufgabe. "Bestimmen sie den Abstand des Pktes P zur Ebene E mithilfe des Lotfußpunktverfahrens. " Und gegeben ust E: x+2y+2z=10 und P(4|6|6) Wir hatten das Lotfußpunktverfahren nur bei Geradenabständen. Eigentlich haben wir den Abstand jetzt von Ebene zu Punkt nur mit der hesseschen Form bestimmt.. brauche ich dieses Lotfußpktverfahren nur, wenn ich auch einen Lotfußpunkt suche? Sonst kann ich es ja auch nur bei der HNF belassen. Mathe INFO: Lotfußpunktverfahren Abstand Punkt Gerade BEISPIEL | Analytische Geometrie | Oberstufe - YouTube. 02. 2008, 18:39 Wenn nur der Abstand zu ermitteln ist, geht es mit der HNF bedeutend schneller: d = (4 + 12 + 12 - 10)/3 = 6 Den Lotfußpunkt brauchst du dazu nicht, ausser er ist explizit auch noch zusätzlich verlangt.
$F$ ist der Fußpunkt $s=1;\; F(3|1|7);\; d=\sqrt{17}\approx 4{, }12\text{ LE}$ $s=2;\; F(−12|4|6);\; d=\sqrt{81}=9\text{ LE}$ Das Flugzeug wird vom Radar erfasst, wenn der Abstand zur Station geringer ist als die Reichweite. $g\colon \vec x= \begin{pmatrix}5\\4\\3\end{pmatrix}+s\, \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$ $s=15;\; F(−40|64|3);\; d=\sqrt{3604}\approx 60{, }03<75$. Abstand punkt gerade lotfußpunktverfahren und. Das Flugzeug wird vom Radar erfasst. $\begin{pmatrix}-9\\-3\\-9\end{pmatrix}=-1{, }5\cdot \begin{pmatrix}6\\2\\6\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;g\|h$ Da die Punktprobe nicht aufgeht, sind die Geraden echt parallel. Abstand von $H(-4|0|-5)$ zu $g:\; F_g(-1|0|-8);\;d=\sqrt{18}\approx 4{, }24\text{ LE}$ Abstand von $G(5|2|-2)$ zu $h:\; F_h(2|2|1);\;d=\sqrt{18}\approx 4{, }24\text{ LE}$ Natürlich reicht es, nur einen Fußpunkt zu berechnen. $g\colon \vec x= \begin{pmatrix}6\\3\\4\end{pmatrix}+s\, \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$ Der Balken muss im Punkt $F\left(\tfrac{22}{3}\big|\tfrac{5}{3}\big|\tfrac{16}{3}\right)$ befestigt werden, und seine Länge beträgt etwa $d=\sqrt{\tfrac{32}{3}}\approx 3{, }27\text{ LE}$.
Für die Methode mit der Hilfsebene können Sie $\vec n=\begin{pmatrix}8\\-4\\1\end{pmatrix}$ als Normalenvektor verwenden und müssten dann auf $t=-1$ kommen. Fußpunkte: $F_g(3{, }5|2{, }5|-3) \quad F_h(-4{, }5|6{, }5|-4)$ Den Mittelpunkt von (RS) kann man mit der Vektorkette $\vec m_1=\vec r+\tfrac 12 \overrightarrow{RS}$ oder mit der Formel $\vec m_1=\tfrac 12 (\vec r+\vec s)$ berechnen; entsprechend den anderen Mittelpunkt. Es ergibt sich: $M_1(3{, }5|2{, }5|-3)$; $M_2(-4{, }5|6{, }5|-4)$. Die Mittelpunkte der Kanten stimmen mit den Lotfußpunkten überein. Abstand der Kanten: $\left|\overrightarrow{F_gF_h}\right|=\sqrt{(-8)^2+4^2+(-1)^2}=9$ Zurück zu den Aufgaben Letzte Aktualisierung: 02. 12. Abstand Punkt/Gerade: Lotfußpunkt mit Hilfsebene (Beispiel). 2015; © Ina de Brabandt Teilen Info Bei den "Teilen"-Schaltflächen handelt es sich um rein statische Verlinkungen, d. h. sie senden von sich aus keinerlei Daten an die entsprechenden sozialen Netzwerke. Erst wenn Sie einen Link anklicken, öffnet sich die entsprechende Seite. ↑
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