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Einleitung Die Methode der kleinsten Quadrate wird benutzt, um zu einer Menge von Punkten eine Kurve zu finden, die möglichst nahe an den Punkten verläuft. In diesem Artikel werden ganzrationale Funktionen als Kurvenfunktionen zum Einsatz, das Verfahren ist aber auch mit allen anderen Funktionen wie z. B. trigonometrischen Funktionen, Logarithmusfunktionen möglich. Lineare Funktion (Ausgleichsgerade) Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion 1.
Dein Ziel ist also, dass die Regressionslinie möglichst nah an vielen Punkten des Streudiagramms liegt. Mathematisch suchst du also die Gleichung, bei der die quadrierten Abweichungen aller Werte von der Geraden minimal sind. Daher kommt auch der Name Methode der kleinsten Quadrate. Vorhersage und Vorhersagegüte Spitze! Jetzt hast du gelernt, was das Modell der Regression ist und wie man die Regressionsgerade bestmöglich durch die Daten legt. Was kannst du jetzt konkret mit deiner Geraden anfangen? Das Regressionsmodell ist ein Vorhersagemodell. Es geht darum, durch bereits gesammelte Daten des Prädiktors und des Kriteriums Vorhersagen für die Zukunft zu treffen. Für die Prognose muss nur noch der Prädiktor bekannt sein, um das Kriterium zu prognostizieren. Beispiel: Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate hast du für den Prädiktor Körpergröße (in cm) und das Kriterium Einkommen (Euro netto) folgende Gleichung aufgestellt: = b ⋅ x + a = 13 ⋅ x + 10 Hiermit kannst du nun für jede beliebige Körpergröße das Einkommen vorhersagen.
Bestimmtheitsmaß Definition Im Beispiel zur Methode der kleinsten Quadrate (lineare Regression) wurde ein linearer Zusammenhang zwischen der abhängigen Variablen (Schuhgröße y) und der unabhängigen Variablen (Körpergröße x) mit der Regressionsfunktion y i = 34 + 0, 05 × x i abgebildet. Nun stellt sich die Frage, wie gut diese Regressionsgerade ist, d. h. wie nahe liegen die sich aus der gefundenen Regressionsfunktion ergebenden Werte für die Schuhgröße in Abhängigkeit von der Körpergröße den tatsächlich gemessenen Schuhgrößen (mit anderen Worten: wie gut wird die Punktewolke durch die Regressionsgerade angenähert? ). Diese Frage kann durch das sog. Bestimmtheitsmaß als "Gütemaß der Regression" beantwortet werden. Dazu setzt man die durch die Regressionsfunktion erklärte Streuung der Daten (berechnet als quadrierte Abstände) zu der gesamten Streuung in Relation. Alternative Begriffe: Determinationskoeffizient. Beispiel: Bestimmtheitsmaß berechnen Auf die Daten zur Methode der kleinsten Quadrate bezogen: Schritt 1: Gesamtstreuung berechnen Die quadrierten Abstände zwischen den tatsächlichen Schuhgrößen und dem Mittelwert der Schuhgröße (der Mittelwert ist: (42 + 44 + 43) / 3 = 43) sind in Summe: (42 - 43) 2 + (44 - 43) 2 + (43 - 43) 2 = -1 2 + 1 2 + 0 2 = 1 + 1 + 0 = 2.
Methode der kleinsten Fehlerquadrate.. rt und von a-z exemplarisch durchgerechnet... erforderliche Vorkenntnisse: Grundlagen der Differentialrechnung (Ableitungen, Extremwertbestimmung) Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate dient in der Mathematik u. A. dazu, aus einer Reihe von Messwerten ein Gesetz zu erschlieen oder voraussagen ber weitere Messwerte zu treffen. Mit einem Beispiel lsst sich die Idee am besten veranschaulichen: Nehmen wir an, die folgenden 4 Messwerte wurden bei einem Experiment aufgenommen: x y z. B. Zeit in Sekunden z. zurckgelegte Wegstrecke 1 1. 41 2 1. 60 3 2. 05 4 2. 22 oder noch einmal anders formuliert, haben wir 4 Punkte im xy-Koordinatensystem: $$\begin{eqnarray} P_1 = \left(\begin{array}{c} P_1x \\ P_1y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1. 41 \end{array}\right) \\ P_2 = \left(\begin{array}{c} P_2x \\ P_2y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1. 60 \end{array}\right) \\ P_3 = \left(\begin{array}{c} P_3x \\ P_3y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2.
15 + 8. 88 = 19. 64$ Diese Zahlenwerte knnen jezt in $m_{min}$ eingesetzt werden: $m_{min} = \frac{ \frac{-4\left(10\right)\left(7. 28\right)}{8} + \left(2\cdot19. 64\right)}{\left(2\cdot30 - \frac{\left(2\cdot10\right)^2}{8} \right)} = \frac{-5\cdot7. 28 + 39. 28}{60-50} = \frac{2. 88}{10} = 0. 288$ (5. 12 m) Dieser Wert wird in b eingesetzt: $b_{min} = \frac{-\left(2\cdot10\right)\cdot0. 288 - \left(-2\cdot7, 28\right)}{ \left(4\cdot2\right)} = \frac{8. 8}{8} = 1. 1$ (5. 6 b) Wir haben somit die Gerade mit den minimalen Fehlerquadraten berechnet: $f(x) = mx+b = 0. 288\cdot x + 1. 1$ (6) Abbildung 3: Die ideal angenherte Gerade und die Messpunkte home Impressum
Wie gut die so gefundene Gerade passt, kann mit dem sog. Bestimmtheitsmaß gemessen und in einem Wert ausgedrückt werden (man sieht in der obigen Grafik, dass sie nicht sehr gut passen kann, da die Datenpunkte ziemlich weit von der Geraden entfernt sind).
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