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Grundbegriffe Kleinste-Quadrate-Methode (KQ-Methode) oder Methode der kleinsten Quadrate Bei der Kleinste-Quadrate-Methode (KQ-Methode) oder Methode der kleinsten Quadrate zur Konstruktion von Schätzfunktionen wird davon ausgegangen, dass die Erwartungswerte der Stichprobenvariablen über eine bekannte Funktion von dem unbekannten Parameter der Grundgesamtheit abhängen: Im einfachsten Fall ist. Sind die Stichprobenwerte einer Zufallsstichprobe aus einer Grundgesamtheit mit dem unbekannten Parameter, so wird eine Schätzung so gewählt, dass die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen den Stichprobenwerten und möglichst klein wird. Das bedeutet, dass so zu bestimmen ist, dass für alle möglichen Parameterwerte gilt: bzw. dass minimiert wird. Nach Differentiation nach und Nullsetzen der ersten Ableitung lässt sich der Kleinste-Quadrate- Schätzwert als Punktschätzung für bestimmen. Ersetzt man in dem Ergebnis die Stichprobenwerte durch die Stichprobenvariablen, resultiert der Kleinste-Quadrate-Schätzer.
4) nach der Methode der kleinsten Quadrate vorgezogen. Dabei wird die Matrix zerlegt als Produkt von zwei Matrizen wobei orthogonal und eine Rechtsdreiecksmatrix ist. Da orthogonale Matrizen die Länge eines Vektors invariant lassen, gilt Daraus ist ersichtlich, dass minimiert wird durch jenes, welches löst. In M ATLAB werden überbestimmte Gleichungssysteme der Form ( 3. 4) automatisch mit der QR-Zerlegung gelöst, wenn man den Backslash-Operator x = A\b benützt. Peter Arbenz 2008-09-24
Methode der kleinsten Fehlerquadrate.. rt und von a-z exemplarisch durchgerechnet... erforderliche Vorkenntnisse: Grundlagen der Differentialrechnung (Ableitungen, Extremwertbestimmung) Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate dient in der Mathematik u. A. dazu, aus einer Reihe von Messwerten ein Gesetz zu erschlieen oder voraussagen ber weitere Messwerte zu treffen. Mit einem Beispiel lsst sich die Idee am besten veranschaulichen: Nehmen wir an, die folgenden 4 Messwerte wurden bei einem Experiment aufgenommen: x y z. B. Zeit in Sekunden z. zurckgelegte Wegstrecke 1 1. 41 2 1. 60 3 2. 05 4 2. 22 oder noch einmal anders formuliert, haben wir 4 Punkte im xy-Koordinatensystem: $$\begin{eqnarray} P_1 = \left(\begin{array}{c} P_1x \\ P_1y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1. 41 \end{array}\right) \\ P_2 = \left(\begin{array}{c} P_2x \\ P_2y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1. 60 \end{array}\right) \\ P_3 = \left(\begin{array}{c} P_3x \\ P_3y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2.
Wenn Anna z. B. 180 cm groß ist, erhält sie laut der Vorhersage ein Einkommen von 2. 350 Euro netto. = 13 ⋅ 180 + 10 = 2. 350 Die Vorhersage ist allerdings nur eine Schätzung der Realität. Diese Schätzung basiert auf den Daten, mit denen du die Gleichung erstellt hast. Diese Schätzung wird also umso genauer, je mehr Daten aufgenommen werden. Auch durch die Aufnahme weiterer Prädiktoren kann die Vorhersage präziser werden. Du könntest neben der Körpergröße zum Beispiel die Intelligenz der Leute erfassen, um das Einkommen genauer vorherzusagen. Wenn du mehrere Prädiktoren nutzt, verwendest du das Regressionsmodell der multiplen Regression. Die Schätzungen des Regressionsmodells in der Statistik weichen manchmal mehr und manchmal weniger stark von der Realität ab. Schau dir dafür einmal folgende zwei Streudiagramme an: In beiden Streudiagrammen wird das Einkommen vorhergesagt. Das linke Regressionsmodell hat als Prädiktor Intelligenz. Das rechte Modell hat als Prädiktor die Körpergröße. Beide haben eine Regressionsgerade, die den Vorhersagewerten möglichst nah ist.
Um alle Messpunkte zu bercksichtigen, stellen wir eine weitere Funktion auf, die die Summe aus allen quadrierten Einzelfehlern beschreibt und deren unabhngige Variablen die Parameter der gesuchten Geraden m und b sind: $$F(m, b) = r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2$$ (3) Setzt man $r_1$ bis $r_4$ in diese Funktion ein, wird sie zunchst etwas unbersichtlich (aber nicht wirklich kompliziert): $$F(m, b) = \left(mP_{1x} + b - P_{1y}\right)^2 + \left(mP_{2x} + b - P_{2y}\right)^2 + \left(mP_{3x} + b - P_{3y}\right)^2 + \left(mP_{4x} + b - P_{4y}\right)^2$$ (3. 1) Praktischer weise ist es NICHT ntig, die Quadrat uns interessiert, ist ja das MINIMUM dieser Funktion. Fr die lokalen Minima muss gilt als notwendige Bedingung das die Ableitungen nach m und nach b an diesem Punkt jeweils gleich null sein mssen. $\frac{dF(m_{min}, b_{min})}{dm} \stackrel{! }{=} 0 $ (4. 1 m) $\frac{dF(m_{min}, b_{min})}{db} \stackrel{! }{=} 0$ (4. 1 b) Die Ableitungen von $F(m, b)$ nach den blichen Regeln der Diffenzialrechung (v. Kettenregel!
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