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Übersicht der Terminologie Elemente paarweise verschieden Elemente können mehrfach vorkommen ohne Zurücklegen, ohne Wiederholung mit Zurücklegen, mit Wiederholung geordnete Stichprobe, mit Berücksichtigung der Reihenfolge, d. h. Reihenfolge relevant Permutation Permutation ohne Wiederholung (engl. n-permutation) Permutation mit Wiederholung (engl. n-tuple) Variation Variation ohne Wiederholung (engl. k-permutation) Variation mit Wiederholung (engl. k-tuple) ungeordnete Stichprobe, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, d. h. Reihenfolge irrelevant Kombination Kombination ohne Wiederholung (engl. k-combination) Kombination mit Wiederholung (engl. k-multiset) Anzahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Im Folgenden bezeichnet die Zahl der vorhandenen Elemente und die Zahl ausgewählten Elemente bzw. die jeweiligen Anzahlen der Elemente, die nicht unterscheidbar sind. Anzahl möglicher Permutationen, Variationen und Kombinationen ohne Wiederholung mit Wiederholung Permutationen → Fakultät → Multinomial Variationen → Fallende Fakultät → k-Tupel Kombinationen → Mengen (k-Teilmengen) → Multimengen Bälle und Fächer [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine Verallgemeinerung des Urnenmodells ist ein von Gian-Carlo Rota popularisiertes Modell mit Bällen und Fächern, im Englischen nach einem Vorschlag von Joel Spencer auch Twelvefold Way ("Zwölffacher Weg") genannt.
Dabei dürfen Zahlen auch mehrmals verwendet werden ("mit Wiederholung" — im Gegensatz zu oben, wo ein einmal ausgewählter Spieler nicht nochmals ausgewählt werden konnte). Dann wäre die Anzahl der Variationsmöglichkeiten: 3 2 = 9. Allgemein als Formel mit m = Anzahl der auszuwählenden aus n Auswahlmöglichkeiten: n m. Ausgezählt sind die Variationsmöglichkeiten bei der Variation mit Wiederholung: 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 Zahlenschloss Bei einem Zahlenschloss kann man je Stelle eine aus 10 möglichen Zahlen (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) auswählen (mit der hier unnötigen Formel für die Auswahl von einer aus 10 Zahlen sind die Möglichkeiten je Stelle des Zahlenschlosses 10 1 = 10). Bei einem 4-stelligen Zahlenschloss gibt es somit 10 × 10 × 10 × 10 = 10 4 = 10. 000 Möglichkeiten (die Zahlen können wiederholt werden, es ist z. B. auch die Zahlenschlosseinstellung "1111" möglich). Kennzeichen Angenommen, die Kennzeichen eines Zulassungsbezirks bestünden aus 2 Buchstaben (mit jeweils 26 möglichen Buchstaben A bis Z) und 4 Ziffern (mit jeweils 10 möglichen Ziffern 0 bis 9).
[1] [2] Gesucht ist dabei die Anzahl der Möglichkeiten, Bälle auf Fächer zu verteilen, wobei die Bälle und Fächer jeweils entweder unterscheidbar oder nicht unterscheidbar sind und entweder keine weitere Bedingung gilt oder in jedes Fach höchstens ein Ball kommen darf oder mindestens ein Ball kommen muss. Man erhält folgende Übersicht: Bälle Fächer Beschränkung auf Anzahl der Bälle pro Fach unterscheidbar? — max. 1 mind. 1 Dabei ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine -elementige Menge in nichtleere disjunkte Teilmengen aufzuteilen ( Stirling-Zahl zweiter Art), und die Anzahl der Möglichkeiten, die Zahl als Summe von positiven ganzen Zahlen ohne Beachtung der Reihenfolge darzustellen (siehe Partitionsfunktion). Äquivalente Darstellungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wird in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum die Anzahl der möglichen Ereignisse durch eine der obigen kombinatorischen Formeln gegeben, dann können über die vollständige Zerlegung des Ereignisraums äquivalente Darstellungen für sie abgeleitet werden.
Zusammenfassend musst du dir also nur merken, dass Permutationen eine Art Sonderform der Variationen mit N=k darstellen. Im Falle einer Wiederholung ist die allgemeine Formel zur Berechnung der Möglichkeiten. Bei Permutationen ohne Wiederholung kannst du die Anzahl an Möglichkeiten ganz einfach mit N Fakultät berechnen.
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