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Universität / Fachhochschule Polynome Komplexe Zahlen Tags: Komplexe Zahlen, Linearfaktorzerlegung, polynom, Polynomdivision Dotile 19:52 Uhr, 17. 02. 2015 Hallo zusammen, Ich hänge gerade an einer komplexen Linearfaktorzerlegung in. Das gegebene Polynom ist: z 5 - z 4 + 3 z 2 - 4 z + 4 Raten der Nullstelle liefert: 2 i Da im Polynom kein imaginären Zahlen vorkomen, ist die komplex konjugierte Nullstelle auch eine Nullstelle: - 2 i Durch multiplizieren der beiden Nullstelle ( z - 2 i) ( z + 2 i) kommen wir an einen Term der keine imaginären Zahlen beinhaltet ( z 2 + 4) der uns die Polynomdivision erleichtert. Es folgt also ( z 5 - z 4 + 3 z 2 - 4 z + 4): ( z 2 + 4) = z 3 - z 2 - z + 4 - 12 x 2 + 4 (durch Polynomdivision). Nullstellen und komplexe Linearfaktorzerlegung | Mathelounge. Diese liefert jedoch ein Polynom mit einem Rest, den - 12 x 2 + 4. Ich habe nun folgendes Problem/fehlendeds Verständniss: Bedeutet der Rest nach der Polynomdivision das sich keine Nullstellen mehr finden lassen? Wenn nein, wie gehe ich dann vor um eine weiter Polynomdivison durchzuführen?
pleindespoir 20:33 Uhr, 17. 2015 Wenn die Polydiv. nicht aufgeht, hast Du falsch geraten. Guck mal ob die Gleichung überhaupt stimmt - da kann man nix raten. 20:36 Uhr, 17. 2015 0 = x^(5) - x^(4) + (3 * x^(2)) - (4 * x) + 4 x = (-1. 6280692194511313440984), x = 1. 0410946632657356543964 + (0. 77013310197150187902498 * ί), x = 1. 0410946632657356543964 - (0. 77013310197150187902498 * ί), x = 0. 27293994645983001765284 + (1. 1792260212375533875668 * ί), x = 0. 27293994645983001765284 - (1. 1792260212375533875668 * ί) 20:42 Uhr, 17. Linearfaktorzerlegung von Fkt. mit komplexen Zahlen im Bereich z^6 | Mathelounge. 2015 Danke an alle die geantwortet haben, das Polynom ist in der Tat falsch, ich habe es in aller Aufregung falsch abgetippt. Das tut mir wirklich leid, ich weis wie sehr es nerven kann falsche Ausgangspunkte zu haben. Hier nochmal das richtige Polynom das laut Wolfram α die obigen Nullstellen hat: z 5 - z 4 + 3 z 3 - 3 z 2 - 4 z + 4 PS: Ja tschuldigung war verwirrt mit dem englischen "real solutions" auf wolram α;-) 20:50 Uhr, 17. 2015 Hallo, dann ist 1 eine Nullstelle, und hier muss man nicht mal Polynomdivision machen, denn aus den drei Paaren 1. und 2.
Beispiele Polynom n-ten Grades hat n n Nullstellen: Das Polynom 2 x 2 − 4 x − 6 2x^2-4x-6 von oben hat den Grad 2 2 und zwei Nullstellen, und zwar − 1 -1 und 3 3. Das Polynom x 2 − 2 x + 1 x^2-2x+1 hat den Grad 2 2 und eine doppelte Nullstelle, und zwar die Zahl 1 1. Polynom n-ten Grades hat weniger als n n Nullstellen: Das Polynom x 3 − 2 x 2 + 3 x − 6 x^3-2x^2+3x-6 von oben hat den Grad 3 und nur eine Nullstelle, und zwar die Zahl 2 2. Linearfaktorzerlegung komplexe zahlen. n n Nullstellen Wenn f f ein Polynom n-ten Grades mit n n Nullstellen ist und mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezählt werden, dann gibt es eine Linearfaktorzerlegung von f f. f f lässt sich also umformen zu mit N 1, …, N n N_1, \dots, N_n als Nullstellen des Polynoms (wobei auch mehrere Nullstellen gleich sein können). Beispiele 1. f ( x) = 3 x 3 − 3 x f(x)=3x^3 - 3x Linearfaktordarstellung: 2. f ( x) = x 3 − 2 x 2 f(x) = x^3 - 2x^2 Linearfaktordarstellung: 3. f ( x) = 2 x 3 f(x) = 2x^3 Linearfaktordarstellung: Weniger als n n Nullstellen Im Allgemeinen kann man über den reellen Zahlen aber nicht davon ausgehen, dass ein Polynom seinem Grad entsprechend viele Nullstellen besitzt (z.
Wichtige Inhalte in diesem Video Mit der Linearfaktorzerlegung kannst du ein Polynom durch seine Linearfaktoren darstellen. Im Video zeigen wir dir ausführlich, wie du dabei vorgehen musst. Linearfaktorzerlegung Einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:13) Die Linearfaktorzerlegung ist eine andere Darstellung der Polynomfunktion (also eines mehrgliedrigen Terms). Mit ihr lassen sich die Nullstellen des Polynoms direkt ablesen. Was ist die Linearfaktorzerlegung? Bei der Linearfaktorzerlegung wird ein Polynom von der Normalform f(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 in die Linearfaktordarstellung oder Produktform gebracht. f(x) = a(x- x 1)(x- x 2)…(x- x n) · Restglied Die einzelnen Klammern sind die Linearfaktoren des Polynoms. Dabei handelt es sich immer um einen der Term der Form ( x – Zahl). Die Zahlen x 1, x 2, …, x n sind die Nullstellen des Polynoms. Das Restglied ist der Teil der Funktion, der keine Nullstellen mehr besitzt. Beispiele Normalform 6x 2 – 12x – 18 ⇔ 6 · ( x + 1)( x – 3) Produktform Normalform x 2 + 3x – 4 ⇔ ( x – 1)( x + 4) Produktform Normalform x 2 – 2x – 8 ⇔ ( x + 2)( x – 4) Produktform Linearfaktorzerlegung Vorgehensweise im Video zur Stelle im Video springen (01:11) Möchtest du eine Linearfaktorzerlegung durchführen, dann befolgst du immer diese Schritte: Vorfaktor ausklammern Nullstellen berechnen Linearfaktoren aufstellen Linearfaktoren in die Produktform bringen Ausmultiplizieren zur Kontrolle Beispiel: Polynome 2.