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Im Minkowski-Raum der flachen Raumzeit wird nun – abweichend von der oben angebenden Definition für Vektoren im – das Quadrat des Vierervektors durch definiert, was auch eine negative reelle Zahl ergeben kann. Für dieses Vierervektorquadrat wird in der Literatur auch der Begriff Betragsquadrat verwendet, [7] obwohl die auf dem Minkowski-Raum definierte Bilinearform, die dieses Betragsquadrat induziert, kein Skalarprodukt ist, von dem sich ein Betragsquadrat mit nichtnegativen Werten im obigen Sinne ableiten ließe. Die Lorentz-Transformationen lassen sich nun als diejenigen Koordinatentransformationen charakterisieren, die besagte Bilinearform und damit das Betragsquadrat erhalten. Betrag von komplexen zahlen berlin. Beispielsweise ist die Koordinatentransformation in das Ruhesystem eines Objekts, das sich mit Relativgeschwindigkeit in -Richtung bewegt,, wobei der Lorentz-Faktor ist, längenerhaltend, das heißt für den transformierten Vierervektor gilt. Analog dazu wird auch das Betragsquadrat jedes anderen Vierervektors (beispielsweise des Impuls-Vierervektors) definiert, welches dann ebenfalls invariant bezüglich einer Lorentz-Transformation ist.
Speziell erhält man für das Betragsquadrat der Summe zweier komplexer Zahlen mit Betrag eins: [5]. Anwendungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Signaltheorie [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In der Signaltheorie ist die Gesamtenergie bzw. die Gesamtleistung eines kontinuierlichen komplexwertigen Signals definiert als das Integral über sein Betragsquadrat, das heißt. Betrag einer komplexe Zahl online berechnen. Die Gesamtenergie entspricht damit dem Quadrat der -Norm des Signals. Ein zentrales Resultat ist hier der Satz von Plancherel, nach dem die Energie eines Signals im Zeitbereich gleich seiner Energie im Frequenzbereich ist. Ist demnach die (normierte) Fourier-Transformierte von, so gilt [6]. Die Fourier-Transformation erhält also die Gesamtenergie eines Signals und stellt damit eine unitäre Abbildung dar. Relativitätstheorie [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In der Relativitätstheorie werden die Zeit- und Ortskoordinaten eines Ereignisses in der Raumzeit in einem Orts-Vierervektor zusammengefasst. Die Zeitkoordinate wird dabei mit der Lichtgeschwindigkeit multipliziert, damit sie wie die Raumkoordinaten die Dimension einer Länge hat.
Fall v = 0 Die Lösungen von z 2 = u mit einer reellen, nicht notwendig positiven Zahl u ¹ 0 lauten: Die Lösungen ( u>0) und ( u<0) sind die Quadratwurzeln positiver reeller Zahlen. Fall v ¹ 0 z 2 = (x+iy) 2 = (x 2 -y 2 +i2xy) = u+iv Trennt man den Real und Imaginärteil, so erhält man die folgenden Gleichungen: x 2 -y 2 = u 2xy = v 2xy = v Þ y = v/2x | v ¹ 0 und x ¹ 0 y = v/2x in x 2 -y 2 = u einsetzen Bemerkung: Bei der Berechnung der Quadratwurzel mit dem Computer kann es zu numerischen Problemen führen, wenn u negativ ist und v betragsmäßig sehr klein gegenüber u ist. Der Grund dafür sind die begrenzten Stellenanzeigen, die für die Darstellung einer Zahl verfügbar sind. u = -5 v = 0. 002 (float-Variable 6 Stellen) Wegen den 6 Stellen ist 0, 0000004 gleich 0. Dies hat zur Folge, dass x=0 und bei der Berechnung von y = v/2x kommt es zu einer Division durch 0. Man kann dies vermeiden, wenn man bei x 2 -y 2 = u und 2xy = v im Fall u<0 die Rollen von x und y vertauscht. Komplexe Zahlen. Man potenziert eine komplexe Zahl mit dem Exponenten n, indem man den Betrag r der Zahl mit n potenziert und das Argument j von z mit n multipliziert.