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Äquivalenzumformung Definition Mit Äquivalenzumformungen kann man viele Gleichungen (und Ungleichungen) lösen, v. a. lineare Gleichungen. Beispiel Die Gleichung sei $2 \cdot x + 3 = 7$ und x soll ermittelt werden. Dazu formt man die Gleichung – hier in zwei Schritten – auf beiden Seiten der Gleichung um: Zunächst wird auf beiden Seiten 3 abgezogen, notiert wird dies hinter einem senkrechten Strich: $$2 \cdot x + 3 = 7 \; \vert -3$$ $$2 \cdot x = 4 $$ Dann wird auf beiden Seiten durch 2 geteilt: $$2 \cdot x = 4 \; \vert:2$$ $$x = 2$$ Die (hier einzige) Lösung der Gleichung ist x = 2 (bei anderen Gleichungen kann es mehrere Lösungen bzw. eine Lösungsmenge geben). Es wird bei der Umformung mit den gegensätzlichen Operatoren gearbeitet: in der Gleichung stand "plus 3", dann wird mit "minus 3" umgeformt; in der Gleichung stand "mal 2", dann wird mit "geteilt durch 2" umgeformt (durch 0 dürfte man nicht teilen). Gleichungen: Äquivalenzumformungen. Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die die Lösung bzw. Lösungsmenge nicht verändert.
Beispiel Der senkrechte Strich neben der Gleichung heißt "Kommandostrich" oder "Umformungsstrich". Er besagt in der ersten Zeile z. B., dass auf beiden Seiten der Gleichung 6 subtrahiert wird. Überprüfung Um das Ergebnis zu überprüfen, kann es einfach in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden. => Aussage ist wahr Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?
$x-5=8 \quad|\color{red}{+5}$ $x-5\color{red}{+5}=8\color{red}{+5}$ $x=13$ Subtraktionsregel Wir subtrahieren auf beiden Seiten dieselbe Zahl, sodass sich eine positive Zahl auf der Seite mit dem $x$ aufhebt. Gleichungen mit äquivalenzumformungen lösen facebook. $x+10=18 \quad|\color{red}{-10}$ $x+10\color{red}{-10}=18\color{red}{-10}$ $x=8$ Multiplikationsregel Bei einem Faktor kleiner als 0 können wir mit dem Kehrwert multiplizieren. $0, 5\cdot x=9 \quad|\color{red}{\cdot2}$ $\color{red}{2\cdot}0, 5\cdot x=9\color{red}{\cdot2}$ $x=18$ Divisionsregel Üblicherweise dividiert man durch den Faktor vor dem $x$. $5x=25 \quad|\color{red}{:5}$ $\frac{5x}{\color{red}{5}}=\frac{25}{\color{red}{5}}$ $x=5$
Lösen von Gleichungen durch Umformen (Äquivalenzumformungen) Kann man bei einfachen Gleichungen die Lösung(en) oftmals durch Ausprobieren herausfinden, so ist dies bei komplizierteren Gleichungen nicht mehr so einfach möglich. Wie schon erwähnt, kann man sich eine Gleichung als eine Waage im Gleichgewicht vorstellen. Äquivalenzumformungen in Mathematik | Schülerlexikon | Lernhelfer. Beim Umformen muss darauf geachtet werden, dass dieses Gleichgewicht erhalten bleibt. Man darf also nur auf beiden Seiten das gleiche wegnehmen oder hinzufügen. Eine Waage bleibt im Gleichgewicht (bzw. eine Gleichung bleibt nur dann richtig), wenn man auf beiden Seiten das gleiche wegnimmt oder hinzufügt.
Arten der Äquivalenzumformung Bei der Äquivalenzumformung musst du nicht immer addieren. Sie funktioniert bei allen vier Rechenoperationen. Schauen wir uns hierzu je ein Beispiel an: Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Addition Die Addition hast du bereits kennengelernt. Hier noch ein weiteres Beispiel: $x - 34 = 22$ | + 34 $x = 56$ Die Addition ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ in einer Subtraktion steht (Minusrechnung). Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Subtraktion $x + 3 = 7 |\textcolor{blue}{-3}$ $x + 3 \textcolor{blue}{-3} = 7 \textcolor{blue}{-3} $ $x + 0 = 4$ $x = 4$ Die Subtraktion ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ in einer Summe steht (Plusrechnung). Äquivalenzumformungen bei Gleichungen | Maths2Mind. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Multiplikation $\frac{x}{3} = 5 |\textcolor{blue}{\cdot 3}$ $\frac{x\textcolor{blue}{\cdot 3}}{3} = 5 \textcolor{blue}{\cdot 3}$ $x \cdot \frac{\textcolor{blue}{3}}{3} = 15$ $x \cdot 1 = 15$ $x = 15$ Die Multiplikation ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ im Zähler eines Bruches oder allgemein in einer Division steht.