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B. "cx nach links" und "b nach rechts" bringst: ax − cx = d − b Dadurch sind die x-Vielfachen auf der einen Seite, die andere Seite ist x-frei.
Wollt ihr etwas mit mal oder geteilt auf die andere Seite bringen, schreibt ihr das hinter den Äquivalenzstrich und führt das auf beiden Seiten durch. Es ist wichtig, dass ihr JEDEN Summanden auf beiden Seiten multiplizieren oder teilen müsst (siehe "Rechenregel" weiter unten). Wenn ihr eine Potenz/Wurzel habt, dann könnt ihr diese mit einer Wurzel/Potenz auflösen. Dabei ist der Wurzelexponent immer dem Exponenten der Potenz gleich. Wird also zum Beispiel etwas quadriert, kann dies mit der 2. Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen - bettermarks. Wurzel (die "gewöhnliche" Wurzel) auf die andere Seite "gebracht" werden. Klickt auf einblenden, um die Lösung zu sehen. Habt ihr eine Mischung aus mehreren Rechenoperationen, müsst ihr diese hintereinander durchführen. Wichtig ist, dass ihr in der richtigen Reihenfolge umformt, damit es nicht zu kompliziert wird, also: Addition und Subtraktion Multiplizieren und Dividieren Wurzel ziehen und Potenzieren Hier ein Beispiel dafür: Aufgaben mit Beispielen: Klick auf einblenden, um die Lösungen zu sehen.
$x-5=8 \quad|\color{red}{+5}$ $x-5\color{red}{+5}=8\color{red}{+5}$ $x=13$ Subtraktionsregel Wir subtrahieren auf beiden Seiten dieselbe Zahl, sodass sich eine positive Zahl auf der Seite mit dem $x$ aufhebt. $x+10=18 \quad|\color{red}{-10}$ $x+10\color{red}{-10}=18\color{red}{-10}$ $x=8$ Multiplikationsregel Bei einem Faktor kleiner als 0 können wir mit dem Kehrwert multiplizieren. $0, 5\cdot x=9 \quad|\color{red}{\cdot2}$ $\color{red}{2\cdot}0, 5\cdot x=9\color{red}{\cdot2}$ $x=18$ Divisionsregel Üblicherweise dividiert man durch den Faktor vor dem $x$. Äquivalenzumformungen | Mathebibel. $5x=25 \quad|\color{red}{:5}$ $\frac{5x}{\color{red}{5}}=\frac{25}{\color{red}{5}}$ $x=5$
Lineare Gleichungen und Bruchgleichungen werden durch Äquivalenzumformung gelöst. Lineare Gleichungen sind Gleichungen der Form: $ax+b=0$! Gleichungen: Äquivalenzumformungen. Merke Bei der Äquivalenzumformung wird die gesamte Gleichung durch dieselbe Zahl ungleich 0 addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert, ohne dass sich die Lösungsmenge der Gleichung ändert. Beispiele $x+8=18 \quad|\color{red}{-8}$ $x+8\color{red}{-8}=18\color{red}{-8}$ $x=10$ $5x=25 \quad|\color{red}{:5}$ $\frac{5x}{\color{red}{5}}=\frac{25}{\color{red}{5}}$ $x=5$
Formel Äquivalenzumformungen bei Gleichungen Unter einer Äquivalenzumformung einer Gleichung versteht eine Umformung, die den Wahrheitswert der Gleichung unverändert lässt. Eine Äquivalenzumformung ändert also die Lösung einer Ungleichung nicht. Äquivalenzumformungen umfassen das Zusammenfassen von Termen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung. Gleichungen mit äquivalenzumformungen lösen de. Weiters handelt es sich dabei um die Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division eines gleichen Terms auf beiden Seiten der Gleichung. Zudem darf man die beiden Seiten einer Gleichung, linke Seite bzw. rechte Seite vom Gleichheitszeichen, natürlich mit einander vertauschen. Nicht jede Umformung einer Gleichung ist eine Äquivalenzumformung Die Division durch die Variable x ist keine Äquivalenzumformung. Beispiel \(\eqalign{ & {x^2} - 5x = 0\, \, \, \, \, \, \, \, \left| {:x} \right. \cr & x - 5 = 0 \cr} \) Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung besteht aus den 2 Elementen: \(L = \left\{ {0;5} \right\}\), die Lösungsmenge der linearen Gleichung besteht nur mehr aus einer Lösung \(L = \left\{ 5 \right\}\), es ist somit eine Lösung verloren gegangen, daher ist diese Umformung unzulässig.
Um Zahlen von einer Seite "wegzubekommen" muss immer das Gegenteil gemacht werden: Gegenteilig sind addieren - subtrahieren sowie multiplizieren - dividieren
Beispiel Der senkrechte Strich neben der Gleichung heißt "Kommandostrich" oder "Umformungsstrich". Er besagt in der ersten Zeile z. B., dass auf beiden Seiten der Gleichung 6 subtrahiert wird. Überprüfung Um das Ergebnis zu überprüfen, kann es einfach in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden. => Aussage ist wahr Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?
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