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Dadurch ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung zu $ \partial _{t}^{2}\phi -{\vec {\nabla}}^{2}\phi +m^{2}\phi =0 $. Lösung Bezeichne $ k=({\tfrac {\omega}{c}}, {\vec {k}}) $ den Vierer-Wellenvektor. Dann ist die ebene Welle $ \phi =A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx} $ eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung, wenn die Kreisfrequenz $ \omega $ gemäß $ \omega ({\vec {k}})={\sqrt {{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}+c^{2}{\vec {k}}^{2}}} $ oder in den Planck-Einheiten $ \omega ({\vec {k}})={\sqrt {m^{2}+{\vec {k}}^{2}}} $ mit dem Wellenvektor $ {\vec {k}} $ zusammenhängt. Ebenso löst die konjugiert-komplexe Welle $ \phi ^{*}=A^{*}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kx} $ die Klein-Gordon-Gleichung, da diese reell ist. Da die Klein-Gordon-Gleichung linear und homogen ist, sind Summen und komplexe Vielfache von Lösungen ebenso Lösungen. Mathematik - einfach genial - Mathematik ist schön - Kalender für das Friedensdorf Oberhausen. Daher löst $ \phi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}k}{(2\pi)^{4}}}\left[a_{k}\, \mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}+b_{k}^{*}\, \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kx}\right] $ mit beliebigen fouriertransformierbaren Amplituden $ a_{k} $ und $ b_{k}^{*} $ die Klein-Gordon-Gleichung.
$ Mit der hier gewählten Normierung der Lagrangedichten ergeben sich in der Quantenfeldtheorie für das komplexe Feld dieselben Propagatoren wie für das reelle. Komplexe lösung quadratische gleichung nach. Kontinuitätsgleichung Die Lagrangedichte für das komplexe Feld ist invariant unter der kontinuierlichen Schar von Transformationen $ T_{\alpha}:\ \phi \mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha}\phi \,, \ \phi ^{\dagger}\mapsto (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha}\phi)^{\dagger}\ =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha}\phi ^{\dagger}, $ die das Feld mit einer komplexen Phase $ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha}\,, 0\leq \alpha <2\pi $ multiplizieren. Nach dem Noether-Theorem gehört zu dieser kontinuierlichen Symmetrie ein erhaltener Strom mit Komponenten $ j_{\mu}=\mathrm {i} \left(\phi ^{\dagger}\, \partial _{\mu}\phi -(\partial _{\mu}\phi ^{\dagger})\, \phi \right)\,, \ \mu \in \{0, 1, 2, 3\}. $ Die 0-Komponente ist die Dichte der erhaltenen Ladung: $ \rho (x)=j_{0}(x)=\mathrm {i} \left(\phi ^{\dagger}\, \partial _{t}\phi -(\partial _{t}\phi ^{\dagger})\, \phi \right) $ Diese Dichte ist nicht positiv semidefinit und kann nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte gedeutet werden.
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