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Bücher: MATLAB und Simulink in der Ingenieurpraxis Studierende: weitere Angebote Partner: Forum Option [Erweitert] • Diese Seite per Mail weiterempfehlen Gehe zu: leberkas Forum-Newbie Beiträge: 3 Anmeldedatum: 11. 06. 10 Wohnort: --- Version: --- Verfasst am: 11. 2010, 13:39 Titel: Mehrdimensionales Newton-Verf. Mehrdimensionales Newton-Verfahren (keine Nullstelle gesucht) | Mathelounge. /Iterationsschritte ausgeben Hallo, hab folgendes Problem mit der Programmierung des Newton-Verfahrens in MATLAB. (nicht-lineare GLS) In der Ausgabe sollen sämtliche Iterationsschritte mit Ergebnis angezeigt werden, die man für's Ausrechnen der Nullstellen benötigt. Bei mir wird aber nur das Endergibnis (x1=0, 5; x2=0, 5) angezeigt. In meinem Beispiel werden genau 4 Schritte benötigt, um auf die Nullstellen zu kommen. Vielleicht weiss jemand wie ich die Ausgabe aller Schritte in mein Verfahren implementiere...? Hier seht ihr was ich bisher habe: Code:%%Nichtlineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen%%Mehrdimensionales Newton-Verfahren%%Für eine gegebene Funktion Funktion F(x, y) = [f1(x, y);f2(x, y)]%%soll in Matlab das Newton-Verfahren implementiert werden.
Wir wollen einen Punkt x n + 1 x_{n+1} nahe x n x_n finden, der eine verbesserte Näherung der Nullstelle darstellt. Dazu linearisieren wir die Funktion f f an der Stelle x n x_n, d. Newton verfahren mehr dimensional theory. wir ersetzen sie durch ihre Tangente im Punkt P ( x n; f ( x n)) P(x_n\, ;\, f(x_n)) mit Anstieg f ′ ( x n) f\, \prime(x_n). Die Tangente ist durch die Funktion t ( x n + h): = f ( x n) + f ′ ( x n) h t(x_n+h):=f(x_n)+f\, \prime(x_n)h gegeben. Setzen wir h = x − x n h=x-x_n ein, so erhalten wir t ( x): = f ( x n) + f ′ ( x n) ( x − x n) t(x):=f(x_n)+f\, \prime(x_n) (x-x_n). 0 = t ( x n + 1) = f ( x n) + f ′ ( x n) ( x n + 1 − x n) 0=t(x_{n+1})=f(x_n)+f\, \prime(x_n) (x_{n+1}-x_n) \quad ⇒ x n + 1 = x n − f ( x n) / f ′ ( x n) \Rightarrow\quad x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n). Wenden wir diese Konstruktion mehrfach an, so erhalten wir aus einer ersten Stelle x 0 x_0 eine unendliche Folge von Stellen ( x n) n ∈ N (x_n)_{n\in\mathbb N}, die durch die Rekursionsvorschrift x n + 1: = N f ( x n): = x n − f ( x n) f ′ ( x n) x_{n+1}:=N_f(x_n):=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f\, '(x_n)} definiert ist.
=\vec b$$ und die erhaltene Lösung \(\vec x\) als neuen Anfangswert \(\vec a\) für weitere Iterationsschritte zu verwenden. Numerisch sieht man davon ab, die Lösung mittels der inversen Jacobi-Matrix \(J_{\vec f}^{-1}(\vec a)\) zu bestimmen, sondern löst das Gleichungssystem in der Regel direkt.
74 Aufrufe Aufgabe: Lösen Sie die Gleichung \( \begin{pmatrix} x_1^2+x_2^2+2x_3^2 \\ -x_1+2x_2 \\ x_2+x_3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} \) approximativ mittels zweier Iterationsschritte des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x (0) = (0, 0, 1). Problem/Ansatz: Wir haben das mehrdimensionale Newton-Verfahren bisher nur zur Nullstellensuche verwendet. Muss ich hier dann einfach die Gleichung umformen, sodass sie so aussieht? \( \begin{pmatrix} x_1^2+x_2^2+2x_3^2-2 \\ -x_1+2x_2-2 \\ x_2+x_3-1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\) Irgendwie komme ich aber nach der 1. Newton-verfahren mehrdimensional rechner. Iteration dann wieder auf x( 1) =(0, 0, 1), also hat sich mein Wert überhaupt nicht angenähert... Gefragt 2 Mär von 2 Antworten Aloha:) Die Idee hinter dem Newton-Verfahren ist es, nicht die Gleichung$$\vec f(\vec x)=\vec b$$direkt zu lösen, sondern die Funktion \(\vec f\) an einer Stelle \(\vec a\) zu linerisieren$$\vec f(\vec a+\vec x)\approx\vec f(\vec a)+J_{\vec f}(\vec a)\cdot(\vec x-\vec a)$$das Gleichungssystem für diese Linearisierung zu lösen$$\vec f(\vec a)+J_{\vec f}(\vec a)\cdot(\vec x-\vec a)\stackrel!
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