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Chinesischer Restsatz ist der Name mehrerer ähnlicher Theoreme der abstrakten Algebra und Zahlentheorie. 27 Beziehungen: Alexander Wylie, Blum-Blum-Shub-Generator, CRA, CRS, CRT, Damgård-Jurik-Kryptosystem, Eieraufgabe des Brahmagupta, Erweiterter euklidischer Algorithmus, Hauptidealring, Kongruenz (Zahlentheorie), Lemma von Zolotareff, Limes (Kategorientheorie), Liste mathematischer Sätze, Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie), Pohlig-Hellman-Algorithmus, Prime Restklassengruppe, Proendliche Zahl, Quadratwurzel, Rabin-Kryptosystem, RSA-Kryptosystem, Satz von Erdős (Zahlentheorie), Schnelle Fourier-Transformation, Simultane Kongruenz, Suanjing shi shu, Sylow-Sätze, Teilerfremdheit, Zahlentheorie. Alexander Wylie Alexander Wylie Alexander Wylie (* 6. April 1815 in London; † 6. Februar 1887 in Hampstead) war ein britischer Missionar und Mathematikhistoriker. Chinesischer Restsatz · Beweis + Beispiel · [mit Video]. Neu!! : Chinesischer Restsatz und Alexander Wylie · Mehr sehen » Blum-Blum-Shub-Generator Der Blum-Blum-Shub-Generator (BBS-Generator; auch "s² mod n - Generator") ist ein Pseudozufallszahlengenerator, entwickelt 1986 von Lenore Blum, Manuel Blum und Michael Shub.
Chinesischer Restsatz ist der Name mehrerer ähnlicher Theoreme der abstrakten Algebra und Zahlentheorie. Simultane Kongruenzen ganzer Zahlen x ≡ a 1 m o d m 1 x ≡ a 2 m o d m 2 ⋮ x ≡ a n m o d m n \array{ {x \equiv {a_1} {\mod m_1}} \\{x \equiv {a_2} {\mod m_2}}\\ {\, \vdots \, \, } \\{x \equiv {a_n} { \mod m_n}}} für die alle x x bestimmt werden sollen, die sämtliche Kongruenzen gleichzeitig lösen. Wenn eine Lösung x x existiert, dann sind mit M: = kgV ( m 1, m 2, m 3, …, m n) M:= \kgV(m_1, m_2, m_3, \ldots, m_n) die Zahlen x + k M x + kM ( k ∈ Z) (k \in \mathbb{Z}) genau alle Lösungen. Chinesischer restsatz rechner grand rapids mi. Es kann aber auch sein, dass es gar keine Lösung gibt. Teilerfremde Moduln Die Originalform des Chinesischen Restsatzes aus einem Buch des chinesischen Mathematikers Ch'in Chiu-Shao aus dem Jahr 1247 ist eine Aussage über simultane Kongruenzen für den Fall, dass die Moduln teilerfremd sind. Sie lautet: Seien m 1, …, m n m_1, \ldots, m_n paarweise teilerfremde ganze Zahlen, dann existiert für jedes Tupel ganzer Zahlen a 1, …, a n a_1, \ldots, a_n eine ganze Zahl x x, die die folgende simultane Kongruenz erfüllt: x ≡ a i m o d m i x \equiv a_i \mod m_i für i = 1, …, n i = 1, \ldots, n Alle Lösungen dieser Kongruenz sind kongruent modulo M: = m 1 m 2 m 3 … m n M:= m_1 m_2 m_3 \ldots m_n.
Grüße und danke, Bernd Post by Bernd Schneider Post by Jens Voß Post by Bernd Schneider Hi, ich habe mal eine ganz einfache Frage zum chinesischen Restsatz und seiner Anwendung zur Entschlüsslung im Falle von RSA. Würde man da wie folgt vorgehen, wenn ich Ausgehend von 1. x = m^d (mod q) <==> x = x_2 (mod q) x = x_1 * q * (q^{-1} mod p) + x_2 * p * (p^{-1} mod q) mod n Ist das korrekt? Grüße und danke, Bernd m_1 = p, m_2 = q M = pq M_1 = q, M_2 = p r_1*m_1 + s_1*M_1 = 1 r_1*p + s_1*q = 1 r_2*m_2 + s_2*M_2 = 1 r_2*q + s_2*p = 1 anzumerken ist, dass alle r_i, s_i jeweils existieren, da p, q jeweils teilerfremd. außerdem gilt. Chinesischer restsatz rechner. r_1 = s_2, s_1 = r_2 daher folgt nun x = m^d*e_1 + m^d*e_2 = m^d*s_1*M_1 + m^d*s_2*M_2 = m^d*s_1*q + m^d*s_2*p = m^d*r_2*q + m^d*s_2*p = m^d*(r_2*q + s_2*p) = m^d und diese Lösung ist modulo M, also modulo pq eindeutig etwas umständlich, wie du siehst, jedoch das selbe Ergebnis In diesem Spezialfall argumentiert man also besser so, wie Jens Voß es getan hat. siehe zur Verwendung der Bezeichnungen auch den Artikel bei Wikipedia Post by Thomas Plehn m_1 = p, m_2 = q M = pq M_1 = q, M_2 = p r_1*m_1 + s_1*M_1 = 1 r_1*p + s_1*q = 1 r_2*m_2 + s_2*M_2 = 1 r_2*q + s_2*p = 1 anzumerken ist, dass alle r_i, s_i jeweils existieren, da p, q jeweils teilerfremd.
Nun, die Idee hinter der CRT-Optimierung ist, dass wir die Nachricht $M$ in zwei Hälften aufteilen können, wenn wir die Faktorisierung des Moduls $N$ kennen (was wir möglicherweise, wenn wir den privaten Schlüssel haben), dann können wir die Nachricht $M$ in zwei Hälften aufteilen (ein Modulo $ p$ und ein Modulo $q$), berechne jedes Modulo separat und kombiniere sie dann neu. Das heißt, wir berechnen: $m_1 = (M^d \bmod N) \bmod p = ((M \bmod p)^{d \bmod p-1}) \bmod p$ $m_2 = (M^d \bmod N) \bmod q = ((M \bmod q)^{d \bmod q-1}) \bmod q$ (Beachten Sie, dass die Exponenten modulo $p-1$ und $q-1$ reduziert sind; wir können dies tun, weil $p$ und $q$ Primzahlen sind (und Fermats kleiner Satz); dies ist die Quelle eines guten Teils von die Beschleunigung). Dann kombinieren wir sie neu; das heißt, wir finden eine Zahl $m$, so dass: $m \equiv (M^d \bmod N) \mod p$ $m \equiv (M^d \bmod N) \mod q$ Aufgrund des chinesischen Restsatzes (und weil $p$ und $q$ relativ prim sind) können wir sofort Folgendes ableiten: $m \equiv (M^d \bmod N) \mod pq$ Genau das wollten wir berechnen.
(Wie versprochen kleiner als 5 * 12 * 77. ) Ich hoffe, du machst dir die Mühe, dies zu verstehen. Rudolf Verffentlicht am Dienstag, den 29. Chinesischer Restesatz. Mai, 2001 - 12:52: Die Berechnung der Zahl geht auch noch einfacher! Du fragst zunächst, welche Zahl T5 erfüllt die Gleichungen: T5 mod 5 = 1 T5 mod 12 = 0 T5 mod 77 = 0 Wegen 12*77 mod 5 = 4 muß 4*x mod 5 = 1 sein, also x = 4 und T5 = 4*12*77 Ebenso möge gelten: T12 mod 5 = 0 T12 mod 12 = 1 T12 mod 77 = 0 Wegen 5*77 mod 12 = 1 muß T12=5*77 sein. Und letztlich: T77 mod 5 = 0 T77 mod 12 = 0 T77 mod 77 =1 Wegen 5*12 mod 77 = 60 muß 60*y mod 77 = 1 sein. Das gibt y = 9 und T77 = 9*5*12 Die gesuchte Zahl ist dann: z=((zmod5)*T5+(zmod12)*T12+(zmod77)*T77)mod5*12*77 Also für unser Beispiel: z=3*4*12*77+4*5*77+20*9*5*12 mod 5*12*77 = 328 Du mußt also nur einmal für jeden Faktor des Modulus eine Zahl berechnen und kannst damit alle Zahlen aus den gegebenen Resten ermitteln.
(Unter 3000). Hinweis: Bei der Anwendung des chinesischen Restsatzes mssen die Moduln teilerfremd sein. In diesem Fall ist die Lsung sogar noch einfacher. Wenn die Reste alle gleich sind, so ergibt sich die Lsung als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Moduln plus diesem Rest. Dieser Rest ist hier -1. [AHU 74] A. V. Aho, J. E. Hopcroft, J. D. Ullman: The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley (1974) [CLRS 01] T. H. Cormen, C. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein: Introduction to Algorithms. 2. Auflage, The MIT Press (2001) [Lan 12] H. W. Lang: Algorithmen in Java. 3. Auflage, Oldenbourg (2012) [Weitere Informationen] [Lan 18] H. Lang: Kryptografie fr Dummies. Wiley (2018) [Weitere Informationen]
Lösen Sie modulare lineare Gleichungen (lineare Kongruenzgleichungen); Lösen Sie die Kongruenzgleichung ax ≡ b (mod m), x =?