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(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\)) (4 BE) Teilaufgabe 2a Die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f'}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) einer in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(f\). Nur in den Punkten \((-4|f'(-4))\) und \((5|f'(5))\) hat der Graph \(G_{f'}\) waagrechte Tangenten. Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Wendestelle besitzt. (2 BE) Teilaufgabe 1c Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente \(t\) an \(G_{f}\) im Punkt \((3|f(3))\). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(t\) die \(x\)-Achse schneidet, und zeichnen Sie \(t\) in die Abbildung 1 ein. (4 BE) Teilaufgabe 2b Es gibt Tangenten an den Graphen von \(f\), die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen \(\mathbf{G_{f'}}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) in der Abbildung 1 Näherungswerte für die \(x\)-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von \(f\) jeweils eine solche Tangente hat. Ostermontag – Gymnasium Suederelbe. (2 BE) Teilaufgabe 2a Nun wird die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{0}^{x}f(t)dt\) betrachtet; ihr Graph wird mit \(G_{F}\) bezeichnet.
Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums. (2 BE) Teilaufgabe 2e Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche \(G\) und Höhe \(h\) berechnen. Erläutern Sie, dass der Term \(\displaystyle 24 \cdot \int_{0{, }2}^{4} \left( f(0{, }2) - f(x) \right) dx\) das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt. (3 BE) Teilaufgabe 1 Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{3x - 5}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\). Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \((3|f(3))\). (6 BE) Teilaufgabe 1a Abb. 1 Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer ganzrationalen Funktion \(f\) drittens Grades mit Definitionsmenge \(\mathbb R\). \(G_{f}\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 0\), \(x = 5\) und \(x = 10\) und verläuft durch den Punkt \((1|2)\). Ermitteln Sie einen Funktionsterm von \(f\). Mathe abitur 2018 hamburg aufgaben referent in m. (zur Kontrolle: \(f(x) = \frac{1}{18} \cdot (x^{3} - 15x^{2} + 50x)\)) (4 BE) Teilaufgabe 2 Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\).
(zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate von \(W\): \(e\)) (6 BE) Teilaufgabe 3 Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt: (1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\). (2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente. (3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden. IQB - Pools für das Jahr 2018 — Aufgaben für das Fach Mathematik zum grundlegenden Anforderungsniveau. (5 BE) Teilaufgabe 1c Begründen Sie, dass \(\lim \limits_{x\, \to\, 0}f'(x) = -\infty\) und \(\lim \limits_{x\, \to\, +\infty}f'(x) = 0\) gilt. Geben Sie \(f'(0{, }5)\) und \(f'(10)\) auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein. (6 BE) Teilaufgabe 4 Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) mit dem Wendepunkt \(W(1|4)\).
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Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x = 1\). Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) in die Abbildung; berücksichtigen Sie dabei insbesondere die Lage der Nullstellen von \(f'\) sowie den für \(f'(1)\) ermittelten Näherungswert. (3 BE) Teilaufgabe 1d Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte \(c \in \;]0;6[\) gibt, für die gilt: \(\displaystyle \int_{e^{-1}}^{c} f(x) dx = 0\). (3 BE) Teilaufgabe 5a Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben. Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort. (2 BE) Teilaufgabe 1e Die gebrochen-rationale Funktion \(h \colon x \mapsto 1{, }5x - 4{, }5 + \frac{1}{x}\) mit \(x \in \mathbb R \backslash \{0\}\) stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für \(f\) dar.