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Vielfachheit von Nullstellen Wir betrachten in diesem Abschnitt die Mehrfachheit von Nullstellen, die wir zwar bereits früher kennengelernt haben, ohne etwas über diese Mehrfachheit zu wissen. Liegt die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion in Produktdarstellung ( → Linearfaktorzerlegung) vor, können wir anhand des Funktionsterms Aussagen über das Verhalten in der Umgebung der Nullstellen machen. Vielfachheit einer Nullstelle - Lexikon der Mathematik. Von besonderem Interesse sind dabei mehrfach auftretende Faktoren. Hierzu betrachten wir uns drei Beispiele. f(x)=1, 5x 2 -6x+3 g(x)=1, 5x 3 -10, 5x 2 +22, 5x-13, 5 h(x)=1, 5x 4 -15x 3 +54x 2 -81x+40, 5 f(x)=1, 5(x-1)(x-3) g(x)=1, 5(x-1) (x-3) 2 h(x)=1, 5(x-1) (x-3) 3 Vergleichen wir die oben dargestellten Graphen der jeweiligen Funktionen f, g und h, so stellen wir Folgendes fest: An der Stelle x=1 schneiden alle drei Graphen die x -Achse wie eine Gerade. An der Stelle x=3 schneidet der Graph von f die x -Achse wie eine Gerade, der Graph von g berührt die x -Achse (ähnlich dem Scheitelpunkt einer Parabel) und der Graph von h schneidet die x -Achse ähnlich der Nullstelle einer Funktion i mit i(x)=x 3 an der Stelle x=0.
Eine Funktion von Grad n hat höchstens n Linearfaktoren und somit höchstens n verschiedene Nullstellen. Eine Funktion von Grad 3 kann also auch nur 2 verschiedene Nullstellen haben. Das ist dann der Fall, wenn eine der beiden Nullstellen beim Berechnen mehrfach vorkommt. Vielfachheit von nullstellen berechnen. Beispiel: 1) durch Probieren finden wir die Nullstelle Polynomdivision: Berechnung der weiteren Nullstellen: mit der Mitternachtsformel: Hier kommt also die 1 ein zweites Mal als Nullstelle vor. Man spricht von doppelter ode zweifacher Nullstelle. In der Linearfaktorzerlegung muss der entsprechende Linearfaktor auch zweimal aufgeführt werden: An der Linearfaktorzerlegung erkennt man also eine doppelte Nullstelle am Exponenten des entsprechenden Linearfaktors. Beispiel: 2) Wir betrachten die folgende Funktion in Linearfaktorzerlegung: Wir sehen, dass eine einfache, eine dreifache und eine doppelte Nullstelle von f ist. Beispiel: 3) Wir betrachten die folgende Funkton in Linearfaktorzerlegung Wir sehen, dass eine doppelte Nullstelle ist (beachte: lässt sich umschreiben zu) und eine einfache Nullstelle ist.
3 Antworten wie finde ich heraus, welche Vielfachheit diese Nullstellen haben? Faktorisieren N1 (0/0) Hast du vermutlich durch Ausklammern von x gefunden. Vielfachheit ist 1. Hättest du x 5 aber nicht x 6 ausklammern können, dann wäre die Vielfachheit 5. N2 (-2/0) Kommt aus der Lösung der quadratischen Gleichung -x² - 4x - 4 = 0. Quadratische Gleichungen haben keine Lösung oder zwei Lösungen der Vielfachheit 1 oder eine Lösung der Vielfachheit 2. Vielfachheit von Nullstellen. Den Term -x² - 4x - 4 kann man faktorisieren: - (x- (-2))². Die Vielfachheit kommt vom Exponenten. Hättest du Lösungen 3 und -7, dann sähe wäre die Faktorsierung (x-3)·(x - (-7)) und es gäbe nur 1 als Exponent. Beantwortet 10 Mai 2021 von oswald 85 k 🚀 f(x)=-x^3 - 4x^2 - 4x f´(x)=-3x^2-8x-4 3x^2+8x=-4|:3 x^2+\( \frac{8}{3} \)x=-\( \frac{4}{3} \) (x+\( \frac{4}{3} \))^2=-\( \frac{4}{3} \)+\( \frac{16}{9} \)=\( \frac{4}{9} \)|\( \sqrt{} \) 1. ) x+\( \frac{4}{3} \)=\( \frac{2}{3} \) x₁=-\( \frac{2}{3} \) →f(-\( \frac{2}{3} \))>0 also ist es keine Nullstelle 2. )
Damit wir am Funktionsterm feststellen können, ob der Graph an den Nullstellen die x x -Achse überquert (VZW) oder nur berührt (kein VZW), brauchen wir den Begriff des Linearfaktors. Du hattest schon festgestellt, dass die Graphen von f, g f, g und h h die gleichen Nullstellen haben. Ihre Linearfaktordarstellungen werden also sehr ähnlich sein. Nullstelle - lernen mit Serlo!. Hier findest du wieder die Graphen von f, g f, g und h h. Darunter sind die dazugehörigen Funktionsterme f ( x), g ( x) f(x), g(x) und h ( x) h(x) in Linearfaktordarstellung angezeigt. Vergleiche die Linearfaktoren ( x + 2), ( x − 1) (x+2), (x-1) und ( x − 3) (x-3) in den verschiedenen Funktionsvorschriften. Was fällt dir auf? f ( x) f(x) = 1 5 ( x + 2) 2 ( x − 1) ( x − 3) \frac{1}{5}(x+2)\color{red}^{2}\color{black}(x-1)(x-3) g ( x) g(x) = 1 5 ( x + 2) ( x − 1) 2 ( x − 3) \frac{1}{5}(x+2)(x-1)\color{red}^{2}\color{black}(x-3) h ( x) h(x) = 1 20 ( x + 2) 2 ( x − 1) 2 ( x − 3) 2 \frac{1}{20}(x+2)\color{red}^{2}\color{black}(x-1)\color{red}^{2}\color{black}(x-3)\color{red}^{2} Manche Linearfaktoren kommen in den Funktionstermen mehrmals vor, bzw. sind sie als Potenz (mit Exponent 2 \color{red}{2}) geschrieben.
Diese liegt in der Nähe von x *. Bei mehrfachen Nullstellen mit gerader Vielfachheit ist dies nicht mehr der Fall. Beispiel: zweifache Nullstelle Die Funktion f(x):=x2 - 2x +1 hat die zweifache Nullstelle x * = 1. Die gestörte Funktion mit Epsilon >0 besitzt überhaupt keine reelle Nullstelle. Die numerische Ermittlung mehrfacher Nullstellen bereitet größere Schwierigkeiten als die Berechnung einfacher Nullstellen: Die erreichbare Genauigkeit ist wegen der schlechten Konditionen deutlich herabgesetzt (siehe Kondition des Nullstellenproblems). Die Effizienz (die Konvergenzgeschwindigkeit) der meisten Nullstellen- Verfahren ist wesentlich schlechter, falls sie nicht überhaupt versagen. Modifikation des Problems Falls neben f auch f ' verfügbar ist, kann man statt f (x) = 0 das modifizierte Problem u(x) = 0 mit lösen. Vielfachheit von nullstellen erkennen. Hat x * die Vielfachheit m, so gilt wegen (Definition Vielfachheit einer Nullstelle), Aus folgt, daß x * eine einfache Nullstelle von u=f / f' ist. Die oben genannten Schwierigkeiten lät;gen es daher nahe, bei Verfügbarkeit von f' die mehrfache Null x * von f aus dem modifieirten Nulstellenproblem zu ermitteln.
Die Nullstellen kommen also jeweils genau einmal vor. Man nennt diese Art von Nullstellen einfache Nullstellen. Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 1. Mehrfache Nullstellen Es gibt aber auch Funktionen mit sogenannten mehrfachen Nullstellen. Die Funktion f f mit f ( x) = ( x − 2) 2 = ( x − 2) ⋅ ( x − 2) f(x)=(x-2)^{\color{red}{2}} =(x-2)\cdot (x-2) besitzt eine zweifache Nullstelle (doppelte Nullstelle) bei x = + 2 x=+2. Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 2. Die Funktion f f mit f ( x) = ( x − 2) 3 = ( x − 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x − 2) f(x)=(x-2)^{\color{red}3}=(x-2)\cdot (x-2)\cdot (x-2) besitzt eine dreifache Nullstelle bei x = + 2 x=+2. Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 3. Entsprechend gibt es Funktionen mit vierfachen, fünffachen, sechsfachen, … Nullstellen. Graphische Bedeutung der Vielfachheit In einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph einer Funktion f f die x x -Achse. Ob ein Schnittpunkt oder ein Berührpunkt vorliegt, kann man an der Vielfachheit der Nullstelle feststellen: Bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit handelt es sich um Schnittpunkte mit der x x -Achse.
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