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Veranschaulicht man die komplexen Zahlen als Punkte der Gaußschen Zahlenebene, so entspricht diese Definition nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls dem Abstand des zur Zahl gehörenden Punktes vom sogenannten Nullpunkt. Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Folgende Zahlenbeispiele zeigen die Funktionsweise der Betragsfunktion. Gleichungen mit Absolutbetrag [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Aus folgt für reelle Zahlen oder. Ist jedoch, dann gibt es kein und kein mit. In einem weiteren Beispiel seien alle Zahlen gesucht, welche die Gleichung erfüllen. Man rechnet wie folgt: Die Gleichung besitzt also genau zwei Lösungen für, nämlich 2 und −8. Ungleichungen mit Absolutbetrag [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für Ungleichungen können die folgenden Äquivalenzen verwendet werden: Gesucht seien beispielsweise alle Zahlen mit der Eigenschaft. Rechner für Gleichungen und Ungleichungen • Vereinfachung algebraischer Ausdrücke, Brüche und Funktionen. Dann rechnet man: Als Lösung erhält man also alle aus dem Intervall. Allgemein gilt für reelle Zahlen, und:. Betragsnorm und Betragsmetrik [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Betragsfunktion erfüllt die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität und ist damit eine Norm, genannt Betragsnorm, auf dem Vektorraum der reellen oder komplexen Zahlen.
14. 2021, 20:01 Ein riesen, riesen großes Dankeschön für diese ausführliche Darstellung, jetzt hilft sie mir enorm weiter =) @Helferlein 16. 2021, 15:37 @Lutetia Genau, im vorliegenden Fall führt der Standardweg über Paris. Weswegen ich ja vorgeschlagen habe, einen kürzeren Weg zu nehmen.
Um zu sehen, was in welchem Bereich vorliegt, berechnen wir in einer Nebenrechnung, wo der Inhalt größer oder gleich $0$ ist. $$ x - 2 \geq 0 \qquad | + 2 \\ x \geq 2 $$ Im Bereich mit $x \geq 2$ ist demnach der Inhalt des Betrages positiv oder gleich $0$, die Betragsstriche können dann einfach weggelassen werden. Dieser Bereich stellt in unserer Rechnung den ersten Fall dar. Der zweite Fall beinhaltet dann alle anderen Reellen Zahlen, also $x \lt 2$. Betragsgleichungen in Mathematik | Schülerlexikon | Lernhelfer. Mit diesen beiden Fällen führen wir die weitere Rechnung durch $|x - 2| = 3$. für $x \geq 2$: $$ x - 2 = 3 \qquad | + 2 \\ x = 5 $$ für $x \lt 2$: $$ -(x - 2) = 3 \\ -x + 2 = 3 \qquad | -2 \\ -x = 1 \qquad |: (-1) \\ x = -1 $$ Natürlich muss man vor Bestimmung der Lösungsmenge prüfen, ob die gefundenen Werte innerhalb der jeweils untersuchten Bereiche liegen. Da $5 \geq 2$ und $-1 \lt 2$ ist, ist das in diesem Beispiel gegeben. Die Lösungsmenge der Gleichung lautet also: $$ L=\left\{5;-1\right\} $$ Mit Hilfe einer Probe kann man schnell prüfen, dass diese beiden Lösungen tatsächlich die Gleichung erfüllen.