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Damit folgt: \[ \Rightarrow \frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot ({m_P} + {m_S})}}\] Für \({m_p}<<{m_s}\), was sicher für die meisten Planeten, Asteroiden und Kometen im Sonnensystem gilt, folgt in guter Näherung wieder die vereinfachte Darstellung. Haben die Objekte jedoch ähnlich große Massen, muss – wie hier gezeigt – die Summe der Massen berücksichtigt werden. Im allgemeinen Fall einer Ellipse ist \(r\) durch \(a\) zu ersetzen.
Aber erst mit Kenntnis der Umlaufzeiten und der Länge der großen Halbachse eines Planeten können die Halbachsen anderer Planeten durch das 3. KEPLERsche Gesetz bestimmt werden. Ursache im Gravitationsgesetz Hinter dem dritten KEPLERschen Gesetz steckt das NEWTONsche Gravitationsgesetz. 3 keplersches gesetz umstellen 2. Darin kommt zum Ausdruck, dass die Gravitationskraft umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands von Zentralkörper und Trabant ist. \[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{P}}}}}{{{r_{\rm{SP}}}^2}}\]Die Gravitationskraft bewirkt eine Beschleunigung, die einen Massekörper (hier die Masse des Planeten \({m_{\rm{P}}}\)) in der Nähe eines anderen schweren Körpers (hier die Masse der Sonne \({m_{\rm{S}}}\)) auf die charakteristische Bahn (Ellipsenbahn oder Hyperbelbahn) zwingt. Im einfachsten Fall der Kreisbahn ist diese beschleunigende Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung und bewirkt nur eine Änderung der Bewegungsrichtung nicht eine Änderung des Geschwindigkeitsbetrags, sie wirkt als Zentripetalkraft \({\vec F_{{\rm{ZP}}}}\) mit \({F_{{\rm{ZP}}}} = {m_{\rm{P}}} \cdot {\omega ^2} \cdot r\) und \({\omega} = \frac{{2 \cdot {\pi}}}{{T}}\).
Von der Sonne aus gesehen, steht er nach einem Umlauf wieder vor dem genau gleichen Sternenhintergrund. Das Problem: Die siderische Umlaufzeit lässt sich nur für die Erde direkt bestimmen, für alle anderen Planeten muss sie errechnet werden. Denn ein Beobachter auf der Erde sieht nicht deren wahre, sondern nur ihre scheinbaren Bahnen. Keplersche Gesetze • einfach erklärt, drei Gesetze · [mit Video]. Direkt messen kann er nur die Zeit, die zum Beispiel für einen oberen Planeten wie den Mars zwischen einer Opposition und der nächsten vergeht. Diese gemessene synodische Umlaufzeit gibt die Zeitspanne an, nach der ein Planet von der Erde aus gesehen wieder im gleichen Winkel zur Sonne steht. Für die mit freiem Auge sichtbaren Planeten waren die synodischen Umlaufzeiten schon seit dem Altertum recht gut bekannt, und in den langjährigen Aufzeichnungen von Tycho Brahe fand Kepler sie mit besonders hoher Genauigkeit. Zeitabstände zwischen Oppositionen | Aus den beobachteten Zeitabständen zwischen aufeinander folgenden Oppositionen eines Planeten kann man seine wahre Umlaufzeit um die Sonne berechnen.
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