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Weil die Ableitung einer holomorphen Funktion wieder holomorph ist, können nur holomorphe Funktionen Stammfunktionen besitzen. Holomorphie ist lokal bereits hinreichend: Ist ein Gebiet, eine holomorphe Funktion und, dann gibt es eine Umgebung von in und eine Stammfunktion von, d. h. für alle. Die Frage der Existenz von Stammfunktionen auf ganz hängt mit topologischen Eigenschaften von zusammen. Für eine holomorphe Funktion mit offen und zusammenhängend sind folgende Aussagen äquivalent: Die Funktion hat eine Stammfunktion auf ganz, das heißt, ist holomorph und ist die komplexe Ableitung von. Wegintegrale über hängen nur von den Endpunkten des Weges ab. Wegintegrale über geschlossene Wege (Anfangspunkt = Endpunkt) liefern als Ergebnis immer 0. Stammfunktion der Wurzelfunktion: einfach erklärt - simpleclub. Für ein Gebiet sind äquivalent: Jede holomorphe Funktion hat eine Stammfunktion. Jeder stetige, geschlossene Weg ist nullhomotop. Jeder stetige, geschlossene Weg ist nullhomolog. ist einfach zusammenhängend. Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen Faltung, für eine Methode zur Interpretation und zum Finden von Stammfunktionen.
Eine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral ist eine mathematische Funktion, die man in der Differentialrechnung, einem Teilgebiet der Analysis, untersucht. Es kann je nach Kontext erforderlich sein, zwischen diesen beiden Begriffen zu unterscheiden (siehe Abschnitt "Unbestimmtes Integral"). Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Unter einer Stammfunktion einer reellen Funktion versteht man eine differenzierbare Funktion deren Ableitungsfunktion mit übereinstimmt. Ist also auf einem Intervall definiert, so muss auf definiert und differenzierbar sein, und es muss für jede Zahl aus gelten: Existenz und Eindeutigkeit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Jede auf einem Intervall stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. Stammfunktion, Aufleitung, Integrationskonstante | Mathematik - Welt der BWL. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist nämlich integrierbar und die Integralfunktion ist eine Stammfunktion von. Ist auf integrierbar, aber nicht überall stetig, dann existiert zwar die Integralfunktion, sie braucht jedoch an den Stellen, an denen nicht stetig ist, nicht differenzierbar zu sein, ist also im Allgemeinen keine Stammfunktion.
Eine Stammfunktion F F einer ursprünglichen, stetigen Funktion f f ist eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion f f ist. Es gilt also Umgekehrt ergibt das unbestimmte Integral über eine Funktion f f alle Stammfunktionen F F. Es gilt also Zu einer Stammfunktion F F kann man jede beliebige Zahl addieren und erhält wieder eine Stammfunktion, da eine konstante Zahl beim Ableiten wegfällt. Gibt man die allgemeine Stammfunktion an, so muss man ein " + C +C " hinzufügen, das für diese beliebige, konstante Zahl steht. Beispiel Hat man die Funktion f ( x) = x 2 + 2 x − 1 f(x)=x^2+2x-1 gegeben, so lautet die allgemeine Stammfunktion zu f ( x) f(x): Somit ist z. B. sowohl die Funktion F 1 ( x) = 1 3 x 3 + x 2 − x + 1 F_1(x)=\dfrac13x^3+x^2-x+1, als auch eine Stammfunktion von f ( x) f(x). Stammfunktion von 1 x 2 22 privilege. Das lässt sich nachprüfen, indem man beide Stammfunktionen ableitet: Wie du die Stammfunktion einer Funktion bestimmen kannst, erfährst du in dem Artikel Stammfunktion finden.
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?
Stammfunktion Definition Ausgangspunkt: man hat eine abgeleitete Funktion vor sich und sucht nun eine Funktion ( Stammfunktion), welche abgeleitet die vorliegende Funktion ergibt. Dabei bezeichnet man die abgeleitete Funktion meist mit f(x) (was etwas verwirrend ist, da Ableitungen i. d. R. mit f '(x) symbolisiert werden) und die Stammfunktion mit F(x). Beispiel Man bekommt die abgeleitete Funktion f (x) = x 2 vorgelegt. Aus den Ableitungsregeln für Potenzfunktionen weiß man, dass F(x) = 1/3 x 3 abgeleitet x 2 ergibt (die Ableitung von x n ist nx n-1, also bei x 3 wäre es 3x 2 und da man hier nicht 3x 2, sondern x 2 als Vorgabe hat, muss man mit 1/3 multiplizieren). Ermittle die Stammfunktion 4x^2 | Mathway. Aber auch F(x) = 1/3 x 3 + 1 oder F(x) = 1/3 x 3 + 17 würde abgeleitet x 2 ergeben (da die Konstante beim Ableiten wegfällt). Man schreibt deshalb (mit C für Constant: engl. für Konstante bzw. Integrationskonstante) F(x) = 1/3 x 3 + C und das sind dann Stammfunktionen bzw. Integrale der Funktion f(x) = x 2. Damit kann man dann rechnen, z.
Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] The Integrator – Berechnung von Stammfunktionen online Integralrechner mit Rechenweg – Berechnung von Stammfunktionen mit Rechenweg und schrittweiser Erklärung Applet zur Integralfunktion – interaktive Arbeitsblätter mit Lösungen zur Visualisierung des Begriffs der Integralfunktion Video: Stammfunktion, unbestimmtes Integral, Hauptsatz. Jörn Loviscach 2011, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi: 10. 5446/9907. Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6, Kap. 76. Stammfunktion von 1 à 2 jour. ↑ Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 201 ↑ Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2, S. 201. ↑ I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Verlag Harry Deutscher Thun, 1981 Frankfurt am Main, ISBN 3-87144-217-8, S. 408.
Dagegen ist die Situation beim unbestimmten Integrieren ganz anders, da die Operation des unbestimmten Integrierens zu einer Erweiterung vorgegebener Funktionsklassen führt, z. B. ist das Integrieren innerhalb der Klasse der rationalen Funktionen nicht abgeschlossen und führt auf die Funktionen und. Auch die Klasse der so genannten elementaren Funktionen ist nicht abgeschlossen. So hat Joseph Liouville bewiesen, dass die einfache Funktion keine elementare Stammfunktion besitzt. Auch die einfache Funktion besitzt keine elementare Stammfunktion. Dagegen ist. Da es keine allgemeine Regel zur Bestimmung von Stammfunktionen gibt, werden Stammfunktionen in sogenannten Integraltafeln tabelliert. Computeralgebrasysteme (CAS) sind heute in der Lage, fast alle bisher tabellierten Integrale zu berechnen. Stammfunktion von 1 x 2 inch. Der Risch-Algorithmus löst das Problem der algebraischen Integration elementarer Funktionen und kann entscheiden, ob eine elementare Stammfunktion existiert. Stammfunktionen für komplexe Funktionen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Begriff der Stammfunktion lässt sich auch für komplexe Funktionen formulieren.
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