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Anleitung: Dieser quadratische Formelrechner löst eine quadratische Gleichung für Sie und zeigt alle Schritte an. Geben Sie die Koeffizienten der quadratischen Gleichung ein, und der Löser gibt Ihnen die Wurzeln, den y-Achsenabschnitt und die Koordinaten des Scheitelpunkts an, die die gesamte Arbeit anzeigen, und zeichnet die Funktion auf. \[ \large a x^2 + b x + c = 0 \] Die quadratische Formel: Wie löse ich eine quadratische Gleichung? Die quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form: \[a x^2 + b x + c = 0\] mit \( a \neq 0\). Es hat Lösungen der Form \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Um die Art der Lösung zu analysieren, wird die Diskriminante definiert als: \[D = b^2 - 4ac\] Basierend auf dem Wert der Diskriminante wird die Art der Lösungen definiert. Tatsächlich gibt es bei \(D > 0\) zwei verschiedene reale Lösungen, bei \(D = 0\) gibt es eine wiederholte reale Lösung, und bei \(D < 0\) gibt es zwei verschiedene imaginäre Lösungen. Mit diesem quadratischen Gleichungslöser können Sie diese Berechnungen automatisch durchführen.
Führt man die imaginäre Einheit \( i = \sqrt{-1} \) ein, lässt sich eine Lösung in den komplexen Zahlen finden. Ein Beispiel für eine quadratische Gleichung mit einem Paar an konjugiert komplexen Lösungen ist folgendes: \( 5 \cdot x^2 + 2 \cdot x + 1 = 0 \) Die Diskriminante D ist kleiner 0: \( D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16 < 0 \) \( x_{1} = -0, 2 + i \cdot 0, 4 \) \( x_{2} = -0, 2 - i \cdot 0, 4 \) Herleitung der quadratischen Lösungsformeln Um die quadratischen Lösungsformeln herzuleiten, muss zuerst auf ein vollständiges Quadrat ergänzt werden. Ausgehend von der Form \( a \cdot x^2+b \cdot x + c = 0 \) wird c von dieser Gleichung subtrahiert, um nur noch Terme, die ein x beinhalten, auf der linken Seite stehen zu haben. \( a \cdot x^2+b \cdot x + c = 0 | -c \) \( a \cdot x^2+b \cdot x = -c \) Damit der erste Term der linken Seite dem ersten Term der binomischen Formel \( (e+f)^2=e^2+2ef+f^2 \) und der zweite Term der linken Seite dem zweiten Term der binomischen Formel entsprechen kann, muss noch mit \( 4a \) multipliziert werden.
Zur Erinnerung: Bei einem Quadrat werden beide Seiten miteinander multipliziert, um die Fläche zu berechnen: A = a² Arten von Quadratischen Gleichungen Quadratische Gleichungen können verschiedene Formen aufweisen. Hier eine Übersicht: Die Form a·x² + 0·x + c = a·x² + c = 0 nennt man eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied. Man sagt reinquadratische Gleichung. Die Form a·x² + b·x + 0 = a·x² + b·x = 0 nennt man eine quadratische Gleichung ohne konstantes Glied. Die Form a·x² + 0·x + 0 = a·x² = 0 → x² = 0 ist ein Spezialfall der reinquadratischen Gleichung. Die Form 1·x² + b·x + c = x² + b·x + c = 0 nennt man genormte quadratische Gleichung (sie entspricht damit der Normalform). Eine Gleichung der Form 0·x² + b·x + c = b·x + c = 0 enthält kein x² mehr. Dies ist eine lineare Gleichung. Diskriminante Die sogenannte Diskriminante ergibt sich aus: D = b 2 - 4·a·c oder mit der Normalform aus D = p 2 - 4·q. Anhand des Wertes der Diskriminanten kann man erkennen, wie viele Lösungen es gibt (reelle Zahlen).
Zwei reelle Lösungen (D > 0) Für \( D > 0 \) lässt sich die Wurzel in den reellen Zahlen ziehen und die quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen (einmal mit + vor der Wurzel, einmal mit - vor der Wurzel). Als Beispiel dient die Gleichung \( 2 \cdot x^2 + 5 \cdot x + 1 = 0 \) mit den Koeffizienten \( a = 2 \), \( b = 5 \) und \( c = 1 \). Die Diskriminante \( D \) ist offensichtlich positiv: \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 17 > 0 \) Die zwei Lösungen der Gleichung lauten somit: \( x_{1} = -0, 2192 \) \( x_{2} = -2, 2808 \) Eine reelle Lösung (\( D = 0 \)) Für \( D = 0 \) lässt sich die Wurzel zwar auch ziehen, ergibt jedoch 0. Die quadratische Gleichung hat dann nur eine Lösung (denn +0 und -0 ergibt genau die selbe Lösung). Folgende Gleichung hat eine verschwindende Diskriminante D: \( x^2 - 2 \cdot x + 1 = 0 \) \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \) Die Doppellösung lautet also \( x = 1 \). Zwei konjugiert komplexe Lösungen (\( D < 0 \)) Für \( D < 0 \) lässt sich keine reelle Zahl als Lösung der Wurzel finden (denn es gibt keine reelle Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt).
Das Merken beider Lösungsformel ist in der Regel nicht notwendig. Mit der großen Lösungsformel lässt sich jede quadratische Gleichung lösen, die kleine Lösungsformel fordert als Koeffizient vor dem \( x^2 \) eine 1. Dividiert man die quadratische gleichung durch den Koeffizienten vor \( x^2 \) (also durch \( a \)), kann auch die kleine Lösungsformel zur Lösung jeder quadratischen Gleichung herangezogen werden. \( x_{1, 2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \) Umwandlung abc-Formel zu pq-Formel Die Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) der großen Lösungsformel lassen sich einfach in die Koeffizienten \( p \) und \( q \) der kleinen Lösungsformel überführen. \( p = \frac{b}{a} \) \( q = \frac{c}{a} \) Mögliche Lösungen Geht man von der Gleichung \( a \cdot x^2+b \cdot x + c = 0 \) aus, gibt es drei mögliche Lösungsfälle. Dies wird ersichtlich, wenn man sich die Lösungsformel \( x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2 \cdot a} \) ansieht. Der Wert unter der Wurzel, der als Diskriminante \( D = b^2 - 4ac \) bezeichnet wird, kann positiv sein, 0 sein oder negativ sein.
Das ist der Fall, wenn eine nach oben geöffnete Parabel so verschoben ist, dass Sie über dem gefragten Wert, z. B. über der x-Achse, ihren Scheitelpunkt hat. Entsprechendes gilt für nach unten geöffnete Parablen (negatives Vorzeichen des quadratischen Glieds) mit einem Scheitelpunkt unter dem Zielwert. Für den Fall, dass der y-Wert des Scheitelpunkts dem Zielwert entspricht, erhalten Sie genau eine Lösung. In den anderen Fällen schneidet die Parabel die x-Achse bzw. eine Gerade parallel zu dieser zweimal und Sie bekommen zwei Lösungen. Der Zielwert ist mit der Beschriftung "Konstante" in der Abbildung dargestellt. Auch die x-Achse wird entsprechend dargestellt. Der Graph der Parabel wird in der Abbildung "Polynomfunktion" genannt. Verwandte Rechner Lösen Sie lineare Gleichungen, also ähnliche Fragestellungen mit dem Unterschied, dass x nur linear und nicht auch mit x 2 eingeht. Lösen Sie kubische Gleichungen, also ähnliche Fragestellungen mit dem Unterschied, dass x sogar mit x 3 eingeht.
Durch den Faktor vor dem quadratischen Glied wird bestimmt, ob die Parabel nach oben offen ist (positive Faktoren) oder nach unten geöffnet ist (bei negativen Faktoren) und wie steil die Parabel ist. In jeden Fall gibt es einen Scheitelpunkt und es werden durch die Parabel-Funktion nicht alle y-Werte angenommen. Das heisst: Bei positivem quadratischen Glied werden zwar alle y-Werte angenommen, die über dem Scheitelpunkt liegen, aber der y-Wert des Scheitelpunkts ist der kleinste Wert, den die Funktion annehmen kann. Bei negativem quadratischen Glied beschreibt der Scheitelpunkt den höchstmöglichen Funktionswert. Durch die Eingaben von Faktoren bei dem linearen Glied und dem Absolutglied erhalten Sie eine Verschiebungen der Parabel. Sie bleibt symmetrisch mit einem absoluten Minimum oder Maximum je nach Faktor des quadratischen Glieds. Es gibt eine, zwei oder keine Lösung bei quadratischen Gleichungen Da eine Parabel also immer einen Extrempunkt hat, ergibt sich, dass es Kombinationen von Zahlenwerten geben kann, bei denen Sie keine Lösung bekommen.
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