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In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Logarithmus ist. Definition In der Potenzrechnung haben wir Gleichungen der Form ${\color{green}b}^{\color{green}n} = {\color{red}x}$ betrachtet. Dabei waren die Basis ${\color{green}b}$ und der Exponent ${\color{green}n}$ bekannt. Gesucht war der Potenzwert ${\color{red}x}$. Beispiel 1 $$ 10^2 = x \quad \rightarrow \quad x = 100 $$ In der Wurzelrechnung haben wir Gleichungen der Form ${\color{red}x}^{\color{green}n} = {\color{green}a}$ betrachtet. Dabei waren der Exponent ${\color{green}n}$ und der Potenzwert ${\color{green}a}$ bekannt. Gesucht war die Basis ${\color{red}x}$. Verallgemeinerte Ableitung von $\log |x|$ (Sobolev-Derivat), wo $x\in (-1,1)$. Beispiel 2 $$ x^2 = 100 \quad \rightarrow \quad x = 10 $$ In der Logarithmusrechnung betrachten wir dagegen Gleichungen der Form ${\color{green}b}^{\color{red}x} = {\color{green}a}$. Dabei sind die Basis ${\color{green}b}$ und der Potenzwert ${\color{green}a}$ gegeben. Gesucht ist der Exponent ${\color{red}x}$. Beispiel 3 $$ 10^x = 100 \quad \rightarrow \quad x = 2 $$ Man bezeichnet den gesuchten Exponenten $x$ auch mit $\log_b a$.

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Die Nullstelle der Logarithmusfunktion ist also x=1. Das ist auch die einzige Nullstelle der Funktion. Grenzwert Wir haben bereits festgelegt, dass die Logarithmusfunktion streng monoton fallend bzw. steigend ist. Betrachtet man das Verhalten der Logarithmusfunktion im Unendlichen, ergibt sich für den Grenzwert, dass er unendlich ist. Liegt die Basis a zwischen 0 und 1 (01) und der x-Wert strebt gegen unendlich, ist der Limes auch plus oder minus unendlich. x → ∞ Festgelegte Logarithmen: log und ln Auf deinem Taschenrechner gibt es zwei unterschiedliche Möglichkeiten, den Logarithmus einzugeben. Ableitung log x pro. Du findest die Tasten "log" und "ln". Diese Tasten sind einfach festgelegt für zwei bestimmte Logarithmen. Den dekadischen Logarithmus und den natürlichen Logarithmus. Natürlicher Logarithmus Der natürliche Logarithmus oder auch Logarithmus naturalis wird mit ln abgekürzt.

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Diese Eigenschaft wird zum Beispiel benötigt, um Extrem- oder Wendepunkte zu bestimmen. Finales Logarithmus ableiten Quiz Frage Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar? Antwort Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar. Wann liegt ein Tiefpunkt vor? VZW von − nach +: relatives Minimum bei x0 Untersuche die Funktion f(x)=ln(x²+3) auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte. (Hinweis: die 3. Ableitung von f lautet (4x³-36x)/(x²+3)³) Keine Nullstellen. Ableitung log x and y. Minimum bei x=0 Wendepunkte bei x=√3, x= -√3

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