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Mathematik Deutsch Physik ( 0) Startseite » Gymnasium » Klasse 8 » Mathematik Klasse 8 Gymnasium: Übungen kostenlos ausdrucken Thema: Quadratische Ergänzung In der 8. Klasse Gymnasium erfahren die Schüler die zentrale Bedeutung funktionaler Abhängigkeiten anhand vielseitiger Anwendungen. Mathematik Gymnasium: Aufgaben für Mathe im Gymnasium: Zahlreiche Mathematik-Aufgaben zum kostenlosen Download als PDF, sowie zugehörige Lösungen. Mathematik Schwerpunkte Alle Schwerpunkte auswählen Vorhandene Klassenarbeiten (Proben/Schulaufgaben) und Übungen Sortiert nach Beliebtheit Übungsblatt 1008 Aufgabe Zur Lösung Quadratische Ergänzung: Bestimmen Sie die Lösung(en) der quadratischen Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Übungsblatt 1009 Möchten Sie alle angezeigten Lösungen auf einmal in den Einkaufswagen legen? Sie können einzelne Lösungen dort dann wieder löschen. Alle (2) in den Einkaufswagen *) *) Gesamtpreis für alle Dokumente (inkl. MwSt. ): 1. 90 €. Ggf. erhalten Sie Mengenrabatt auf Ihren Einkauf.
Die quadratische Ergänzung als Lösungsmethode quadratischer Gleichungen Heute widmen wir uns der quadratischen Ergänzung und damit einem der wohl problematischsten Themen der 10 Klasse im Zusammenhang mit Parabeln bzw. quadratischen Funktionen der Form Eine andere Schreibweise wäre auch z. B. gelesen: "f von x gleich ….. ". Dabei tritt erstere Variante in der Mittelstufe häufiger auf, weshalb ich im Folgendem auch diese verwenden werde. Die quadratische Ergänzung ist eine Lösungsmethode für quadratische Gleichungen. Die Lösungsidee hinter dem Verfahren ist es eine Gleichung in eine Binomform umzuschreiben. Zur Erinnerung: Die drei binomischen Formel lauteten wie folgt: Wobei die quadratische Ergänzung nur der ersten beiden Bedarf. Um die quadratische Ergänzung durchführen zu können müssen wir eine Gleichung auf ihre Normalform bringen. Das heißt, dass der Vorfaktor des x^2=1 sein muss. Einfache Erklärung in 3 Schritten Allgemein sieht das Verfahren so aus: 1. Schritt: 1. Wir nehmen unsere Zahl, sie mit 2, sie, und sie wieder.
Dabei kann man unter naiver Betrachtung sagen, dass wir lediglich die "zwei Teile" mit dem Quadrat gebrauchen. Den nur diese finden wir später in unserer Klammer wieder: Zur Kontrolle überprüfen wir, ob wir die quadratische Ergänzung richtig durchgeführt habe: Es liegt die 1. binomische Formel vor. Und dies ist gerade das, was wir zur binomischen Formel umgewandelt hatten. Die Probe ist somit korrekt. 3. Schritt Das was nun kommt sind einfache Umformungen. Wir fassen auf der linken Seite zusammen und rechnen es rüber. Danach folgt das radizieren (Wurzelziehen). An dieser Stelle stoppe ich mit der allgemeinen Betrachtung, da es sonst zu unüberschaubar würde und beginne mit einem Beispiel: Beispiel 1: Wir wollen die Nullstellen folgender Gleichung finden: Nun ergänzen wir quadratisch: Wie oben besprochen bilden die ersten drei Glieder die binomische Formel. In diesem Fall die zweite, da der mittlere Teil negativ ist. Nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel. Beispiel 2: Wir suchen die Nullstellen der Funkion.
Egal welche quadratische Gleichung du berechnest - du nimmst immer die Zahl, die vor dem $x$ steht. In diesem Fall also die $4$. $x^2 + \textcolor{red}{4}\cdot x = 5$ Eine quadratische Ergänzung folgt immer demselben Muster: Du addierst auf beiden Seiten der Gleichung die Hälfte der Zahl vor dem $x$ zum Quadrat. Sehen wir uns das Beispiel an: $x^2 + \textcolor{red}{4}\cdot x = 5~~~~|+(\frac{\textcolor{red}{4}}{2})^2$ $x^2 + \textcolor{red}{4}\cdot x + (\frac{\textcolor{red}{4}}{2})^2 = 5 + (\frac{\textcolor{red}{4}}{2})^2$ $x^2 + 4\cdot x + 4 = 5 + 4$ $x^2 + 4\cdot x + 4 = 9$ Merke Hier klicken zum Ausklappen Quadratische Ergänzung $x^2 + \textcolor{red}{p}\cdot x = q~~~~| + (\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2$ $x^2 + p\cdot x + (\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2 = q + (\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2$ Wieso machen wir das? Aus mathematischer Sicht ändern wir an der Gleichung nichts, da wir auf beiden Seiten dasselbe addieren. Schauen wir uns den nächsten Schritt an. 4. Schritt: Binomische Formel erkennen und rückwärts anwenden Für den nächsten Schritt musst du dich an die binomischen Formeln erinnern.
(=Quadratische Ergänzung) Schritt 4: Alles was nach der Klammer steht noch zusammenfassen: -4² + 13 = -16 + 13 = -3 Schritt 5: Extremwert ablesen und angeben Quadratische Ergänzung – kompakt: Quadratische Ergänzung: Weitere Beispiele Hier geht's zu Mathe-Videos & Aufgaben
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Hier: 6 x = 2 ⋅ 3 x 6x = 2\cdot 3x Nun musst du nur noch eine Konstante ergänzen, um eine binomische Formel zu erhalten. Um den Wert des Terms nicht zu verändern, musst du diese Konstante aber auch wieder abziehen. Er dient dir nur zum Umformen. Hier: 6 x = 2 ⋅ 3 x ⇒ 6x = 2\cdot 3x \Rightarrow ergänzen mit 3 2 = 9 3^2=9 und ziehe 3 2 3^2 wieder ab. 4) Zusammenfassen Mit Hilfe der Binomischen Formeln kannst du nun Teile des Terms zusammenfassen. Hier: Der Term x 2 + 2 ⋅ 3 x + 3 2 x^2+2\cdot3x+3^2 ist eine aufgelöste erste binomische Formel. 5) Klammer ausmultiplizieren Multipliziere nun die Klammer aus, welche keine binomische Formel enthält. Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden ( x + 3) 2 (x+3)^2 und ( − 9) (-9) 6) Rechte Summe ausrechnen Berechne den Wert der Konstanten. Hier: − 18 + 17 = − 1 -18+17=-1 Am Ende erhält man die Scheitelform Veranschaulichung der Vorgehensweise durch Applet Beachte: GeoGebra rundet alle Werte auf 2 Nachkommastellen. Es können daher in der Anzeige Ungenauigkeiten entstehen, das Applet selbst rechnet aber mit den genauen Werten weiter.