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[2] Konstruktion der reellen Zahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Es gilt nun, dass es für jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen höchstens eine rationale Zahl gibt, die in allen Intervallen enthalten ist, die also für alle erfüllt. [3] Es stimmt aber nicht, dass jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen mindestens eine rationale Zahl enthält; um eine solche Eigenschaft zu erhalten, muss man die Menge der rationalen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen erweitern. Dies lässt sich beispielsweise mit Hilfe der Intervallschachtelungen durchführen. Dazu sagt man, jede Intervallschachtelung definiere eine wohlbestimmte reelle Zahl, also. Intervallschachtelung wurzel 5 euro. [4] Da Intervalle Mengen sind, kann zur Verdeutlichung des Schnitts aller Intervalle der Schachtelung auch geschrieben werden:. Die Gleichheit reeller Zahlen definiert man dann über die entsprechenden Intervallschachtelungen: genau dann, wenn stets und. [5] Auf analoge Weise lassen sich die Verknüpfungen reeller Zahlen als Verknüpfungen von Intervallschachtelungen definieren; beispielsweise ist die Summe zweier reeller Zahlen als definiert.
Hierfür teilen wir dieses Intervall genau in der Mitte, also bei 8, 5 und überprüfen, ob das Quadrat von 8, 5 kleiner oder größer ist als 76. 8, 5 zum Quadrat ergibt 72, 25 und da 72, 25 kleiner ist als 76, wissen wir, dass die Wurzel aus 76, zwischen 8, 5 und 9, 0 liegen muss. Mit diesem EINEN Rechenschritt, haben wir also das Lösungsintervall halbiert und haben damit die Genauigkeit der Lösung deutlich erhöht. Im nächsten Schritt, erhöhen wir die erste Nachkommastelle schrittweise um 1, und berechnen die entsprechenden Quadrate. 8, 6 zum Quadrat, ergibt 73, 96 was wieder kleiner als 76 ist. Wir wissen nun also, dass die Wurzel aus 76 zwischen 8, 6 und 9, 0 liegen muss. Intervallschachtelung wurzel 5 days. Erhöhen wir die erste Nachkommastelle also weiter. 8, 7 zum Quadrat ergibt 75, 69 auch das ist kleiner als 76, aber schonmal ziemlich nah dran. Die Wurzel aus 76, muss also zwischen 8, 7 und 9, 0 liegen. Die nächste zu überprüfende Zahl ist die 8, 8. 8, 8 zum Quadrat ergibt 77, 44. Endlich, die 77, 44 ist größer als 76, somit wissen wir also, dass die Wurzel aus 76, zwischen der 8, 7 und der 8, 8 liegen muss.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die Annahme zweier verschiedener Kerne c 1 u n d c 2 im Widerspruch zu der Bedingung steht, dass ( b n − a n) eine Nullfolge ist. In der Menge ℝ der reellen Zahlen besitzt jede Intervallschachtelung als Kern eine reelle Zahl. Damit ist die Menge der reellen Zahlen abgeschlossen, d. h. eine Erweiterung ohne Verzicht auf wesentliche Eigenschaften ist nicht mehr möglich. Die Verknüpfung reeller Zahlen (das Rechnen mit ihnen) kann man nun mithilfe der sie definierenden Intervallschachtelungen erklären. Quadratwurzel aus 5/Intervallschachtelung/Beispiel – Wikiversity. Dabei zeigt sich, dass man mit reellen Zahlen wie mit rationalen Zahlen rechnen kann. Insbesondere gelten solche Gesetzmäßigkeiten wie die Kommutativ- und Assoziativgesetze der Addition und Multiplikation sowie das Distributivgesetz.
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