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Neu!! : Satz von Cantor und Klasse (Mengenlehre) · Mehr sehen » Mächtigkeit (Mathematik) In der Mathematik verwendet man den aus der Mengenlehre von Georg Cantor stammenden Begriff der Mächtigkeit oder Kardinalität, um den für endliche Mengen verwendeten Begriff der "Anzahl der Elemente einer Menge" auf unendliche Mengen zu verallgemeinern. Neu!! : Satz von Cantor und Mächtigkeit (Mathematik) · Mehr sehen » Menge (Mathematik) Eine Menge von Polygonen Eine Menge ist ein Verbund, eine Zusammenfassung von einzelnen Elementen. Neu!! : Satz von Cantor und Menge (Mathematik) · Mehr sehen » Potenzmenge Die Potenzmenge von ''x'', ''y'', ''z'', dargestellt als Hasse-Diagramm. Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Neu!! : Satz von Cantor und Potenzmenge · Mehr sehen » Surjektive Funktion Eine surjektive Funktion; X ist die Definitionsmenge und Y die Zielmenge. Eine surjektive Funktion ist eine mathematische Funktion, die jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert annimmt.
Dann gilt aber nach Definition von: Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch ist und es keine surjektive Abbildung geben kann – dann kann es aber erst recht keine bijektive Abbildung geben, was den Fall ausschließt, und wir wissen. Historisches Cantor lieferte einen ersten Beweis in seiner Abhandlung Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre von 1890. Hierfür zeigte er, dass die Menge aller Funktionen mächtiger ist als selbst, wobei die Menge der Funktionen die gleiche Mächtigkeit wie die Potenzmenge von besitzt (siehe Potenzmenge#Charakteristische Funktionen). Weitere Beweise stammen von Felix Hausdorff in Grundzüge der Mengenlehre (1914) und von Ernst Zermelo in Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (1908). Zusammenhang mit Cantors weiteren Arbeiten Man kann die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen auch über den Satz von Cantor beweisen, wenn wir wissen, dass. Denn dann ist. Des Weiteren lässt sich mit dem Satz von Cantor die zweite Cantorsche Antinomie zeigen.
Der Satz von Cantor besagt, dass eine Menge \, A weniger mächtig als ihre Potenzmenge \mathcal P(A) (der Menge aller Teilmengen) ist, dass also |\, A| gilt. 16 Beziehungen: Allklasse, Aussonderungsaxiom, Bijektive Funktion, Cantors zweites Diagonalargument, Cantorsche Antinomie, Ernst Zermelo, Felix Hausdorff, Georg Cantor, Grundzüge der Mengenlehre, Injektive Funktion, Klasse (Mengenlehre), Mächtigkeit (Mathematik), Menge (Mathematik), Potenzmenge, Surjektive Funktion, Teilmenge. Allklasse Die Allklasse bezeichnet die Klasse, die alle Elemente einer mathematischen Theorie enthält; in der Mengenlehre ist das die Klasse aller Mengen. Neu!! : Satz von Cantor und Allklasse · Mehr sehen » Aussonderungsaxiom Das Aussonderungsaxiom stammt aus der Zermelo-Mengenlehre von 1907Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in:, dort Axiom III S. 263f. Neu!! : Satz von Cantor und Aussonderungsaxiom · Mehr sehen » Bijektive Funktion Funktion Bijektivität (zum Adjektiv bijektiv, welches etwa 'umkehrbar eindeutig auf' bedeutet → daher auch der Begriff eineindeutig bzw. Eineindeutigkeit) ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der Mengenlehre.
Theorem 5 (Cantor). Sei X eine Menge. Dann gilt |X| < |P(X)|. Beweis (Diagonalargument). Die Abbildung X —> P(X) definiert durch x |—> {x} ist eine Injektion, deshalb gilt |X| ≤ |P(X)|. Laut Folgerung 4 ist zu zeigen, dass es keine Surjektion X —> P(X) gibt. Angenommen, dies sei nicht der Fall. Dann gibt es eine surjektive Abbildung ƒ: X —> P(X). Man konstruiere nun folgende Teilmenge von X: sei ∆ = {a ∈ X: a ∉ ƒ(a)}. Also ∆ ∈ P(X). Aufgrund der Surjektivität von ƒ gibt es ∂ ∈ X mit ƒ(∂)=∆. Man stellt die Frage: ∂ ∈ ∆? Es gilt ∂ ∈ ∆ <==> ∂ ∈ ƒ(∂) <==> ∂ ∉ ∆. Widerspruch! Also gibt es keine Surjektion X —> P(X). Daher |X| < P(X). ▢ Proposition 6. Es gilt |N|=|Z|=|Q| und |R|=|P(N)| > |N| (siehe Thm 6). Hallo, Zuerst nimmt man an es gibt eine surjektive Abbildung f. Die Teilmenge M wird dann definert als alle a aus A, die nicht in f(a) (f(a) ist ein Element der Potenzmenge, also eine Menge) liegen. Aus der Surjektivität folgt, dass es ein a in A gibt, sodass M=f(a) ist. Also ist für ein a aus M nach Definition von M a nicht in f(a).
Cantor teilte Bernsteins Beweis noch im gleichen Jahr Émile Borel auf dem ersten internationalen Mathematiker-Kongress in Zürich mit. Cantors erste Erwähnung des Äquivalenzsatzes, 1887 Cantor hatte diesen Äquivalenzsatz erstmals in seiner philosophischen Abhandlung Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten aus dem Jahre 1887 (ohne Beweis) mitgeteilt. In seiner großen Arbeit Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre von 1895 hat Cantor diesen Satz erneut aufgestellt und aus dem Vergleichbarkeitssatz für Kardinalzahlen gefolgert. Den Vergleichbarkeitssatz konnte Cantor jedoch nicht beweisen. Er ist nach Friedrich Moritz Hartogs ( Über das Problem der Wohlordnung, 1915) mit dem Auswahlaxiom (bzw. Auswahlprinzip oder Wohlordnungssatz) äquivalent. Dedekind selbst fand den Beweis des Äquivalenzsatzes (welcher sich in seinem Nachlass fand) bereits am 11. Juli 1887, jedoch publizierte er ihn nicht und teilte ihn auch nicht Cantor mit. Ernst Zermelo entdeckte Dedekinds Beweis wieder und gab 1908 in seiner Abhandlung Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I einen Beweis, wobei er auf die Dedekindsche Kettentheorie aus Dedekinds Schrift Was sind und was sollen die Zahlen?
Eine passende Bezeichnung für den Äquivalenzsatz wäre Cantor-Dedekindscher Äquivalenzsatz oder Cantor-Dedekind-Bernsteinscher Äquivalenzsatz. Zudem hat Bernstein darauf hingewiesen, dass Cantor selbst die Bezeichnung "Äquivalenzsatz" vorgeschlagen habe. Satz Das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem lautet: Sei eine Menge gleichmächtig zu einer Teilmenge einer Menge, und sei gleichmächtig zu einer Teilmenge von. Dann sind und gleichmächtig. Dabei heißen zwei Mengen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. Ausgedrückt durch die Mächtigkeiten von lautet das Theorem: Aus folgt. Dabei gilt genau dann, wenn gleichmächtig sind, und gilt genau dann, wenn gleichmächtig zu einer Teilmenge von ist, das heißt, wenn es eine injektive Abbildung von in gibt. Ausgedrückt durch die Eigenschaften von Funktionen lautet das Theorem: Seien Mengen mit einer Injektion und einer Injektion. Dann existiert eine Bijektion. Beweisidee Im Folgenden ist hier eine Beweisidee gegeben. Definiere die Mengen:,,.