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Wir lösen das Abstandsproblem für verschiedene Kombinationen von Punkten, Geraden und Ebenen. Abstand zwischen zwei Punkten Gegeben sind zwei Punkte und. Wir subtrahieren einen Vektor vom anderen, um den Vektor zwischen und zu erhalten. Die Distanz zwischen beiden Punkten ist dann die Länge dieses Vektors: Abstand zwischen Punkt und Gerade Gegeben ist ein Punkt und eine Gerade. Wir suchen den Abstand zwischen beiden (die kürzeste Distanz zwischen dem Punkt und einem Punkt auf der Geraden). Zuerst normieren wir den Vektor (wir nennen ihn). Anschließend suchen wir einen Vektor, der von einem Punkt auf der Geraden zu Punkt zeigt. Diesen erhalten wir mit. Schließlich nehmen wir das Kreuzprodukt zwischen diesem Vektor und dem normierten Vektor der Geraden, um den kürzesten Vektor zu erhalten, der von einem Punkt auf der Geraden zum Punkt zeigt. Der Abstand ist nun die Länge dieses Vektors: (1) Abstand zwischen Punkt und Ebene Gegeben ist ein Punkt und eine Ebene. Gesucht ist der Abstand, also die kürzeste Distanz vom Punkt zu einem Punkt auf der Ebene.
Ist nach dem Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden gefragt, so sucht man immer die kürzeste Verbindung zwischen beiden. Im zweidimensionalen Raum sieht das folgendermaßen aus: Zunächst soll das Vorgehen ohne konktrete Zahlenwerte erläutert werden. Das mag dich zunächst vielleicht irritieren, weshalb der Rechenweg weiter unten noch mit einem Beispiel verständlich gemacht wird. Gegeben sind also eine Geradengleichung g und ein Punkt Q, die wie folgt definiert sind: Für die Formel müssen wir zunächst den Ortsvektor q zu unserem Punkt Q bilden. Mithilfe dieser Informationen kann jetzt der Abstand berechnet werden. Hierfür setzen wir im Nenner den Betrag des Richtungsvektors u unserer Geradengleichung ein. Für den Zähler bilden wir das Kreuzprodukt desselben Richtungsvektors u sowie der Differenz aus dem Ortsvektor q unseres Punktes und dem Ortsvektor p unserer Geradengleichung, von dem wir anschließend ebenfalls den Betrag nehmen. Für den Nenner muss das Kreuzprodukt zweier Vektoren gebildet werden, was du am "x" erkennen kannst.
Dieses Deutsch-Englisch-Wörterbuch basiert auf der Idee der freien Weitergabe von Wissen. Mehr dazu Enthält Übersetzungen von der TU Chemnitz sowie aus Mr Honey's Business Dictionary (Englisch/Deutsch). Vielen Dank dafür! Links auf dieses Wörterbuch oder einzelne Übersetzungen sind herzlich willkommen! Fragen und Antworten
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