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Lesezeit: 5 min Es gibt drei wesentliche Methoden bzw. Rechenverfahren, mit denen man Wurzeln näherungsweise berechnen kann. Als erstes stellen wir Intervallschachtelung durch Annäherung vor. Bei der "Intervallschachtelung durch Annäherung" versucht man den Wert einer Wurzel näherungsweise zu berechnen, indem man sich zwei Werte nimmt, die im Quadrat nah an dem Radikanden der gesuchten Wurzel liegen. Diese Werte verringert (oder erhöht) man dann immer wieder um einen kleinen Betrag, sodass man dem gesuchten Wurzelwert näherkommt. Machen wir das anhand eines Beispiels. Berechnen wir: \( \sqrt { 5} = x \) Wir nehmen uns jetzt als untere Grenze den Wert 2 und als obere Grenze den Wert 3. Intervallschachtelung wurzel 5.3. Wir wissen, dass: { 2}^{ 2} = 4\qquad { 3}^{ 2} = 9 Unser gesuchter Wert liegt also zwischen 2 und 3, denn: \sqrt { 4} < \sqrt { 5} < \sqrt { 9} \\ 2 < x < 3 Wir müssen nun entweder die obere Grenze verringern oder die untere Grenze erhöhen. Man sollte immer den Wert wählen, der im Quadrat näher am Radikanden der Wurzel liegt.
Aufgrund der Berechnungen in Beispiel wissen wir, dass in einem angeordneten Körper, der die enthält, diese in den zunehmend kleiner werdenden Intervallen liegt. Die Länge der Intervalle ist hier. Diese Intervalle gibt es auch in und sie helfen bei der Lokalisierung von, auch wenn diese Zahl gar nicht zu gehört. Der Vorteil einer solchen Intervallschachtelung gegenüber der Dezimalbruchfolge ist, dass sie den Wert von beiden Seiten her eingrenzt, während die Dezimalbruchfolge direkt nur untere approximierende Werte liefert. Wenn man beliebige konvergente Folgen betrachtet, so weiß man nur, dass grundsätzlich eine Approximation vorliegt, ohne dass man dies quantitativ ausdrücken kann. Bei einer Intervallschachtelung gibt jedes beteiligte Intervall eine direkte Eingrenzung, aus der der maximale Fehler unmittelbar abschätzbar ist. Intervallschachtelung wurzel 5 download. Eine spezielle Methode ist die Intervallhalbierung. Dabei halbiert man das zuvor gefundene Intervall in zwei gleichlange Hälften und schaut, ob das gesuchte Element zur kleineren oder zur größeren Hälfte gehört und nimmt dann das passende Intervall als nächstes Intervall.
Angemerkt sei aber, dass die Zahl, die wir suchen, irrational ist. Sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Mit dem Verfahren können wir uns irrationalen Zahlen also immer weiter annähern. Wir können sie jedoch nie genau bestimmen. Exakt ist die Angabe des Wurzelwertes nur mit dem Wurzelzeichen als √5 möglich.
Lesezeit: 3 min Diese Methode beruht auf dem selben Prinzip wie die vorherige Methode ( Intervallschachtelung durch Annäherung). Der Unterschied liegt nur darin, wie wir uns unsere neue Grenze wählen. Haben wir zwei Anfangsgrenzen, so betrachten wir deren Mittelwert und setzen uns diesen als neue obere oder untere Grenze. Intervallschachtelung - Zahlenbereiche einfach erklärt!. Wenden wir die Methode auf unser Beispiel an: \( \sqrt { 5} = x \) Wir wählen wieder 2 und 3 als Grenzen. \sqrt { 4} < \sqrt { 5} < \sqrt { 9} \\ 2 < x < 3 Wir bilden den Mittelwert der Grenzen: \frac { 2+3}{ 2} = 2, 5 Überprüfen wir das Quadrat des Mittelwertes: { 2, 5}^{ 2} = 6, 25 Da das Quadrat größer als 5 ist, ist 2, 5 unsere neue obere Grenze. Wir erhalten also: \sqrt { 4} < \sqrt { 5} < \sqrt { 6, 25} \\ 2 < x < 2, 5 Erneut bilden wir jetzt den Mittelwert, um einen genaueren Wert zu erhalten: \frac { 2+2, 5}{ 2} = 2, 25 Auch hier wird das Quadrat überprüft: { 2, 25}^{ 2} = 5, 0625 Also haben wir 2, 25 als neue obere Grenze und somit: \sqrt { 4} < \sqrt { 5} < \sqrt { 5, 0625} \\ 2 < x < 2, 25 Führen wir dieses Verfahren weiter aus, so erhalten wir auch hier ein genaueres Ergebnis.