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Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet der binomischen Formeln ist das Faktorisieren von Termen, also das Umwandeln von Summen in Produkte. In bestimmten Fällen können die binomischen Formeln damit sehr viel Arbeit ersparen. Beispiele Wann kannst du die binomische Formeln zum Faktorisieren benutzen? Zuallererst musst du überprüfen, wie viele Summanden der Term besitzt. Faktorisieren von binomischen formeln. Sind es drei, so kommen die ersten beiden Formeln in Frage; sind es zwei, so kann die dritte Formel hilfreich sein. Sind es mehr als drei Summanden, so muss man zuerst versuchen die Terme zusammenzufassen. Drei Summanden Hat man drei Summanden, so überprüft man, ob zwei der Summanden Quadrate sind. Notfalls muss man zuerst einen geeigneten Faktor ausklammern. Die Wurzeln dieser Quadrate nennt man a a und b b. Ist dies der Fall, so muss man noch den mittleren Term überprüfen, indem man 2 a b 2ab berechnet. Falls dieses Ergebnis mit dem mittleren Summanden aus der Aufgabenstellung übereinstimmt, kann man die binomische Formel zum Faktorisieren benutzen, indem man nun noch das Vorzeichen betrachtet und je nachdem die erste oder zweite binomische Formel benutzt.
Faktorisieren mithilfe der drei binomischen Formeln Wenn du die binomischen Formeln "rückwärts" anwendest, kannst du aus einer Plus- eine Malaufgabe machen. Das ist manchmal hilfreich zum Weiterrechnen. Mathematisch heißt das Faktorisieren: aus einer Summe ein Produkt machen. Beispiele $$9a^2+6ab+b^2=(3a+b)^2$$ $$16x^2-4y^2=(4x+2y)(4x-2y)$$ Die 3 binomischen Formeln: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$ Faktorisieren mithilfe der 1. oder 2. binomischen Formel. Damit du die 1. binomische Formel "rückwärts" anwenden kannst, muss ein Term 3 Voraussetzungen erfüllen. Prüfe das in 3 Schritten. 1. Schritt Hat der Term zwei quadratische Summanden ($$a^2$$ und $$b^2$$)? Was folgt daraus für $$a$$ und $$b$$? 2. Schritt Hat der Term einen Summanden, der sich wie $$2ab$$ in den binomischen Formeln zusammensetzt? 3. Faktorisiere mit Hilfe einer binomischen Formel. | Mathelounge. Schritt Kannst du die beiden ersten Schritte mit ja beantworten, entscheide gemäß der Rechenzeichen, ob du die 1. binomische Formel anwenden darfst. Schreibe die entsprechende Klammer "hoch 2".
Schritt: Gibt es die Quadrate $$a^2$$ und $$b^2$$? Wie sehen $$a$$ und $$b$$ aus? $$a^2stackrel(^)=25p^2rArr a stackrel(^)=sqrt(25p^2)=5p$$ $$b^2stackrel(^)=16q^2rArr bstackrel(^)=sqrt(16q^2)=4q$$ Passt, also weiter zum … 2. Schritt: Jetzt kennst du $$a$$ und $$b$$ und kannst dir überlegen, wie der mittlere Summand $$2ab$$ aussehen müsste und ob er mit dem Term übereinstimmt: $$2ab stackrel(^)=2*5p*4q=2*5*4*pq=40pq$$ Das stimmt mit dem Term überein, also weiter zum… 3. Schritt: Im Term steht erst $$-$$ und dann $$+$$, also arbeitest du mit der 2. Da alle Voraussetzungen erfüllt sind, schreibst du: $$25p^2-40pq+16q^2=(5p-4q)^2$$ $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ Ein Gegenbeispiel Schreibe den Term $$4r^2+6rs+9s^2$$ als Produkt. Faktorisieren von binomischen formel 1. Schritt: Gibt es die Quadrate $$a^2$$ und $$b^2$$? Wie sehen $$a$$ und $$b$$ aus? $$a^2stackrel(^)=4r^2rArr a stackrel(^)=sqrt(4r^2)=2r$$ $$b^2stackrel(^)=9s^2rArr bstackrel(^)=sqrt(9s^2)=3s$$ Das passt, also weiter zum … 2. Schritt: Jetzt kennst du $$a$$ und $$b$$ und kannst dir überlegen wie der mittlere Summand $$2ab$$ aussehen müsste und ob er mit dem Term übereinstimmt: $$2ab stackrel(^)=2*2r*3s=12rs!
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