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Es ist schon so, wie klauss sagt: Fang gleich mit dem Gauß-Algorithmus an, d. h. bring deine Matrix erstmal auf Stufenform. EDIT:... Upps, etwas spät, inzwischen gibt es die zitierte Passage im Beitrag von ChemikerUdS gar nicht mehr - sorry. Anzeige 09. Kern einer matrix bestimmen e. 2015, 15:53 Ok, sagen wir mal, es steht in der Aufgabe, dass die Determinante vorher bestimmt werden MUSS und ich hab jetzt wie hier eine nicht quadratische Matrix. Was mach ich dann? Ist es dann schlicht unmöglich eine Determinante zu bestimmen oder gibt's einen Weg? 09. 2015, 15:56 ja, hab das mit den Nullen nochmal weggemacht, weil ich es in der Antwort von klauss falsch gelesen meinte, dass ich durch umformen Nullen generieren soll. Habe nämlich in anderen Beiträgen des Öfteren das mit den Nullen einfügen gelesen und mich gefragt, was das bringen soll, weil dann folglich Null rauskommt. Ok, das ist dann natürlich daraus zu schließen 09. 2015, 16:02 Könnte durchaus eine Fangfrage sein, auf die man ganz forsch entgegnet, dass sowas nicht vorgesehen ist.
Aufgabe: Sei V=ℚ 3 und f:V→Vdie lineare Abbildung mit f(x, y, z)=(4y, 0, 5z). Bestimmen Sie das kleinste m≥1 mit Kern(f m) = Kern(f m+i) für alle i∈ℕ Problem/Ansatz: Ich habe zuerst mal die Abbildung f in der Matrixschreibweise geschrieben. Als Basis habe ich B={x, y, z} gewählt. Wie kann man den Kern einer linearen Abbildung bestimmen? (Schule, Mathematik, Studium). Dann ist f(x)=0*x+4*y+0*z f(y)= 0*x+0*y+0*z f(z)=0*x+0*y+0*z So erhalte ich dann die darstellende Matrix A=((0, 0, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)). Es ist Kern(A)=<(1 0 0) T > A 2 =((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 25)) und Kern(A 2)=<( 1 0 0) T, (0 1 0) T > A 3 =((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 125)) und somit Kern(A 2)=Kern(A 3) Somit ist das kleinste m gleich 2. Stimmt das so?
Fragt sich, ob sich der Aufwand lohnt, denn wenn die Determinante 0 ist, muß man dann trotzdem zusätzlich den Kern konkret ausrechnen, und zwar mit dem Gauß-Algorithmus. Ich meine, es kostet hier nichts, gleich mit letzterem anzufangen. 09. 2015, 15:44 Ja klar, da geb ich dir recht. Aber das ist so die Vorgehensweise bisher gewesen und ich wollte es so beibehalten... 09. Kern einer matrix bestimmen 10. 2015, 15:49 Ich sehe allerdings auf den 2. Blick gerade, dass die Matrix nicht quadratisch ist, also vergessen wir das mit der Determinante. Es geht also gleich mit Gauß los. Edit: Schadet nichts, den Titel genau zu lesen... 09. 2015, 15:51 HAL 9000 Zitat: Original von ChemikerUdS Wenn ich jetzt aber einfach eine Zeile mit Nullen einfüge, führt das doch nur dazu, dass ich nach genau dieser Zeile entwickle und somit dann Null rauskommt oder seh ich das falsch? Richtig, und damit hast du auf etwas umständliche Art bewiesen, dass dein Kern mindestens eindimensional ist. Was bei einer Matrix mit weniger Zeilen als Spalten aber auch nicht wirklich überrascht: Die Kerndimension ist immer mindestens.
Matrizenrechnung - Grundlagen - Kern und Defekt | Aufgabe mit Lösung
Hallo, hier die Definition... Ich habe mal versucht, das nachzuvollziehen. Denn es soll dann später gelten, dass: wobei v_B der Koordinantenvektor bezüglich der Basis B sein soll. Mein Beispiel: Ich wähle als Basis des V=IR² einmal die Standardbasis B=((1, 0), (0, 1)) und einmal W=IR² mit C=((1, 2), (-1, 1)). Meine Lineare Abbildung F ist {{1, -1}, {2, 0}}·v (Matrix-Schreibweise wie in WolframAlpha). Kern einer 2x3 Matrix. Ich verstehe das nun so: F((1, 0))=(1, 2) F((0, 1))=(-1, 0) Nun frage ich mich, wie ich das in W mit den Basisvektoren aus C linearkombinieren kann: (1, 2)=ß_(1, 1)·(1, 2)+ß_(2, 1)·(-1, 1) => ß_(1, 1)=1 und ß_(2, 1)=0 (-1, 0)=ß_(1, 2)·(1, 2)+ß_(2, 2)·(-1, 1) => ß_(1, 2)-1/3 und ß_(2, 2)=2/3 Dies fassen wir in eine 2x2-matrix zusammen: {{1, 0}, {-1/3, 2/3}}. Was soll nun bedeuten? Ich verstehe das so, dass ich auf irgendeinen VEktor aus V die lineare Abbildung anwenden kann und das dann gleich der beschreibenden Matrix mal dem Koordinantenvektor ist. v=3·(1, 0)+2·(0, 1) F(3·(1, 0)+2·(0, 1))=3·F(1, 0)+2·F(0, 1)=3·(1, 2)+2·(-1, 0)=(1, 6) {{1, 0}, {-1/3, 2/3}}·(3, 2)=(3, 1/3) und nicht (1, 6).
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04. 2022 Letzte Aktualisierung: 25. 2022
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