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Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnest du die Wahrscheinlichkeit bei genau k Treffern. Doch wie berechnest du sie bei höchstens k Treffern? Genau, mit der Verteilungsfunktion. Sie lautet wie folgt: Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten B (n;p;i) müssen von i = 0 bis i = k aufsummiert werden. Bei einfachen Fällen kannst du dies noch mit dem Taschenrechner oder im Kopf berechnen. Meistens musst du den Wert der Verteilungsfunktion aber im Tafelwerk ablesen. Beispiel Verteilungsfunktion Für die Wahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli Kette mit einer Länge von 100 und Trefferwahrscheinlichkeit 0, 7 und höchstens 65 Treffer kannst du aus dem Tafelwerk in der Tabelle ablesen: Ist das wirklich eine Bernoulli Kette? In manchen Aufgaben kann abgefragt werden, ob die Annahme, dass eine Bernoulli Kette vorliegt, überhaupt stimmt. ▷ Rechnungswesen verstehen - für Schüler, Studenten & Weiterbildung. Hierzu kannst du folgende Ansatzpunkte in Betracht ziehen: Sind die Teilexperimente wirklich voneinander unabhängig? Ändert sich die Wahrscheinlichkeit für Treffer vielleicht während der Durchführung der Bernoulli Kette?
Durch welche Kurve müssen zwei auf unterschiedlicher Höhe liegende Punkte miteinander verbunden werden, damit eine reibungsfrei gleitende Masse in kürzester Zeit beim unteren Punkt ankommt? Fünf Mathematiker reichen Lösungen ein: Newton, Leibniz, l'Hôpital, Tschirnhaus und Jakob Bernoulli. Bernoulli kette mehr als het. Jakob, dessen Lösung zweifelsohne eleganter ist als die seines Bruders, fordert nun Johann mit einem Problem heraus: Welche Form muss eine geschlossene Kurve mit gegebener Länge haben, damit diese Kurve die größtmögliche Fläche einschließt? (isoperimetrisches Problem) Als Jakob öffentlich darauf hinweist, dass Johanns Lösung fehlerhaft ist, trägt dies nicht gerade zur Verbesserung des Verhältnisses zwischen den Brüdern bei. Ausgerechnet l'Hôpital ist es, der 1696 als Erster ein Buch zur Leibniz'schen Analysis veröffentlicht ( Analyse des infiniment petits). Dies ärgert Johann sehr – vor allem, als er feststellt, dass l'Hôpital im Prinzip seine "Lektionen" veröffentlicht hat. Aber da er vertraglich zur Verschwiegenheit verpflichtet ist, wagt er sich erst nach dessen Tod im Jahr 1704, hierauf hinzuweisen.
Im Jahr 1866 verallgemeinerte Pafnuti Lwowitsch Tschebyschew (1821–1894) die Aussage für Summen unabhängiger Zufallsgrößen und gab dazu einen genial einfachen Beweis an (Tschebyschew-Ungleichung). Der Kolmogorovsche Beitrag von 1925 gibt drei Bedingungen an, unter denen \( \lim\limits_{n \to \infty}\)\(p\) \(\left( | \frac{1}{n} \cdot (X_{1}+.. +X_{n})-\frac{1}{n} \cdot(E(X_{1})+... Jakob Bernoulli (1655 - 1705) - Spektrum der Wissenschaft. +E(X_{n})) |\leq \varepsilon \right)\) \( =1\) gilt. Die Bedingungen beziehen sich auf die Folge der Summe der Zufallsgrößen, die Folge der zugehörigen Erwartungswerte und die der Varianzen – der Satz wird daher auch »Drei-Reihen-Satz« genannt. In den folgenden Jahren publiziert Kolmogorov weitere Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie, aber auch zu anderen Gebieten der Mathematik. Mit Pawel Sergejewitsch Aleksandrov (1896–1982) reist er durch Europa und besucht die Universitäten in Berlin, Göttingen, München und Paris. 1930 erhält er einen Lehrstuhl für Mathematik an der Moskauer Universität. Als Hochschullehrer übt Kolmogorov zeit seines Lebens eine faszinierende Wirkung auf seine Studenten aus.