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2: Rückwärtseinsetzen durch Anwendung des Einsetzungsverfahrens Wir beginnen mit der Gleichung $IIIb$. Hier können wir $z$ bestimmen, indem wir durch den Koeffizienten $21$ teilen: $21z = 63 ~ ~ |:21$ $\Rightarrow z = 3$ Diesen Wert setzen wir für $z$ in Gleichung $IIa$ ein und bestimmen durch Umformung den Wert für $y$: $-y + 7 \cdot 3 = -y +21 = 22 ~ ~ |-21$ $\Rightarrow -y = 1 ~ ~ |\cdot(-1)$ $\Rightarrow y = -1$ Zuletzt setzen wir die Werte für $z$ und $y$ in die Gleichung $I$ ein, um den Wert für die Variable $x$ zu bestimmen: $3x + 2\cdot(-1) + 3 = 7 ~ ~ |-1$ $3x = 6 ~ ~ |:3$ $x = 2$ Damit erhalten wir als Lösung des Gleichungssystems: $x=2$, $y=-1$, $z=3$. Du kannst das Ergebnis selbst auf Richtigkeit überprüfen, indem du eine Probe durch Einsetzen durchführst. Gauß-Algorithmus – Zusammenfassung In diesem Video wird dir der Gauß-Algorithmus einfach erklärt. Gauß-Algorithmus - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym. Anhand eines Beispiels werden die einzelnen Rechenschritte erläutert. So kannst du in Zukunft selbst den Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme anwenden.
Bei diesen Umformungen handelt es sich um äquivalente Umformungen, d. h., durch sie wird die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht verändert.
Das Verfahren im Überblick 1. Falls Brüche vorhanden sind, diese über Multiplikation mit Hauptnenner beseitigen. 2. Mache über Multiplikation alle Zahlen der ersten Spalte (von oben nach unten) gleich. 2. Steht ganz links in einer Zeile schon eine 0, kann man diese Zeile ganz ignorieren. 2. Schreibe die oberste Zeile neu auf (ohne Änderung) 3. Dann: Zweite Zeile minus erste Zeile, kurz: II-I 4. Dann: Dritte Zeile minus erste Zeile, kurz: III-I 6. Mache über Multiplikation in II und III die Zahlen der zweiten Spalte gleich. 7. Dann: von dritter Zeile die zweite abziehen, kurz: III-II 8. Jetzt ist die Stufenform erreicht, schreibe alles neu hin. Für das LGS oben kommt am Ende raus: x y z 6 3 3 33 0 3 3 21 0 0 6 24 9. Unbekannten wieder hinschreiben I 6x + 3y + 3z = 33 II 0x + 3y + 3z = 21 III 0x + 0y + 6z = 24 10. Rückwärtseinsetzen ◦ Löse III, das gibt hier: z=4 ◦ Setze die Lösung für z in II ein. Bestimme dann y. Das gibt im Beispiel: y=3 ◦ Setze die Lösungen für y und z in I ein. Gauß-Algorithmus: Erklärung, Regeln + Aufgaben | sofatutor. Bestimme dann x.
◦ Dann kommt das y, dann das z, dann das Gleichzeichen,... ◦ und rechts vom Gleichzeichen steht die Zahl ohne Unbekannte. ◦ In jeder der drei Gleichungen kommen die selben drei Unbekannten vor. Vorbereitung ◦ Man lässt bein Aufschreiben alle Unbekannten weg. ◦ Dann bleiben nur noch die Zahlen (Koeffizienten) übrig. ◦ Das spart Schreibarbeit und macht alles übersichtlicher. ◦ Das gibt die Koeffizientenmatrix: 2 1 1 11 2 2 2 18 3 2 3 24 Was ist das erste Ziel? ◦ Das erste Ziel des Algorithmus ist die Stufenform. Gaußverfahren | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie. ◦ Die Stufenform heißt oft auch Dreiecksform: * * * * 0 * * * 0 0 * * ◦ In der zweiten Zeile steht dann links eine Null. ◦ In der dritten Zeile stehen links zwei Nullen. ◦ Die anderen Zahlen sind ganz egal. Welche Umformungen kann man nutzen? Um das LGS in die Stufenform zu bringen, darf man immer eine vor vier Umformungen durchführen. Man kann die Umformungen auch öfters hintereinander ausführen. Jeder der folgenden Umformungen ist immer erlaubt - aber auch nur diese Umformungen: ◦ alle Zahlen in einer Zeile mit der selben Zahl durchmultiplizieren (außer der Null), ◦ alle Zahlen in einer Zeile durch die selbe Zahl teilen (außer durch Null), ◦ alle Zahlen aus einer Zeile zu den Zahlen einer anderen Zeile addieren, ◦ alle Zahlen von einer Zeile von den Zahlen einer anderen Zeile abziehen.
Und zwar so, dass wir eine Gleichung mit drei Variablen, eine Gleichung mit zwei Variablen und eine Gleichung mit nur einer Variablen erhalten. Man nennt diese Form des Gleichungssystems auch Stufenform. $a_1^{\prime}x + a_2^{\prime}y + a_3^{\prime}z = A^{\prime}$ $b_2^{\prime}y + b_3^{\prime}z = B^{\prime}$ $c_3^{\prime}z = C^{\prime}$ Im Anschluss können wir die Gleichung mit nur einer Variablen nach dieser auflösen und dann rückwärts das Einsetzungsverfahren anwenden. Gauß algorithmus aufgaben mit lösungen. Wir schreiben die einzelnen Schritte noch einmal stichpunktartig auf: Gauß-Algorithmus – Regeln: Vorwärtselimination durch Anwendung des Additionsverfahrens Rückwärtseinsetzen durch Anwendung des Einsetzungsverfahrens Um das Verfahren noch etwas anschaulicher zu machen, rechnen wir ein konkretes Beispiel. Gauß-Algorithmus – Beispiel Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem mit den drei Variablen $x, y$ und $z$: $I: ~ ~ ~ 3x+2y+z = 7 $ $II: ~ ~ ~4x + 3y -z = 2$ $III: ~ ~ ~ -x-2y + 2z = 6$ 1: Vorwärtselimination durch Anwendung des Additionsverfahrens Im ersten Schritt wenden wir das Additionsverfahren an, um so Schritt für Schritt Variablen zu eliminieren.