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Lesezeit: 3 min Es gibt drei wesentliche Formen von Ebenengleichungen, die wir uns merken müssen: Koordinatenform: $$ E:a_1 \cdot x + a_2 \cdot y + a_3 \cdot z = c $$ Parameterform: $$ E:\vec x=\vec a + s \cdot \vec b + t \cdot \vec c $$ Normalenform: $$ E: \left[\vec x-\vec a\right] \circ \vec n = 0 $$ Normalenform Die Normalenform (auch "Normalform" oder "Normalengleichung") ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Normalengleichung einer ebene aufstellen. In der Normalenform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor dargestellt. Eine Gerade oder Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene oder im Raum, für die der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor steht. Die Normalenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene. Umwandlungen von Ebenengleichungen Hier findet ihr die notwendigen Formeln zum Berechnen von Ebenengleichungen: Drei Punkte gegeben Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform Umwandlung von Koordinatenform in Normalenform Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform Umwandlung von Parameterform in Normalenform Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform Umwandlung von Normalenform in Parameterform
Anhand der folgenden Abbildung wird deutlich, dass diese Darstellung des Vektors x → − a → als Linearkombination von u → u n d v → eindeutig ist. Ebenso wichtig ist, dass diese Aussagen nur für Punkte der Ebene ε gelten. Liegt ein Punkt P nicht in dieser Ebene, so kann der Punkt A durch eine Hintereinanderausführen von Verschiebungen parallel zu den Geraden g und h nicht auf P abgebildet werden. Ebenengleichung – Wikipedia. Damit verfügen wir über eine weitere Ebenengleichung: x → − a → = r u → + s v → b z w. x → = a → + r u → + s v → ( r, s ∈ ℝ) ( 7) Erinnern wir uns an die Definition der Vektoren u → u n d v →, so lässt sich Gleichung (7) auch wie folgt schreiben: x → = a → + r ( b → − a →) + s ( c → − a →) ( r, s ∈ ℝ) ( 8)
Jede Wahl von, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise oder, entspricht dann einem Geradenpunkt. Berechnung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Aus der Parameterform [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Aus der Parameterform einer Geradengleichung lässt sich ein Normalenvektor der Geraden bestimmen, indem die beiden Komponenten des Richtungsvektors der Geraden vertauscht werden und bei einer der beiden Komponenten das Vorzeichen geändert wird, das heißt. Der Stützvektor kann aus der Parameterform übernommen werden. Aus der Zweipunkteform [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Aus der Zweipunkteform einer Geradengleichung wird zunächst ein Richtungsvektor der Geraden als Differenzvektor zwischen den Ortsvektoren und der beiden Punkte ermittelt und dann wie bei der Parameterform verfahren, also. Normalengleichung einer Ebene. Als Stützvektor kann der Ortsvektor einer der Punkte verwendet werden. Aus der Koordinatenform [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Aus der Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern und lässt sich ein Normalenvektor der Gerade direkt als ablesen.
Wie kann die durch drei nichtkollineare Punkte A, B und C festgelegte Ebene ε "mathematisch" beschrieben werden? Dazu muss man der Frage nachgehen, was Punkte X dieser Ebene von anderen Punkten des Raumes (in Bezug auf die Punkte A, B und C) unterscheidet. Wir betrachten die (verschiedenen) Geraden g und h durch die Punkte A und B sowie A und C. Will man nun den Schnittpunkt A dieser Geraden auf einen beliebigen Punkt X von ε verschieben, so gelingt dies immer, indem man A erst ein Stück entlang der Geraden g und anschließend parallel zu h verschiebt (man könnte auch umgekehrt den Punkt A erst auf der Geraden h und anschließend parallel zu g verschieben). Normalengleichung einer ebene von. Der Punkt A kann also durch Hintereinanderausführen zweier Verschiebungen parallel zu g bzw. h auf jeden Punkt X der Ebene ε abgebildet werden. Betrachtet man die durch die Punkte A, B, C und X bestimmten Vektoren, so heißt dies nichts anderes, als dass sich der Vektor x → − a → als Linearkombination der Vektoren u →: = b → − a → u n d v →: = c → − a → darstellen lässt.
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