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Determinante berechnen (Entwicklungssatz von Laplace) - YouTube
Beispiel: 3x3-Matrix Nehmen wir eine 3x3-Matrix \( M \). Das heißt: \(n\) (Maximale Anzahl von Spalten) ist 3. Eigenwerte mit Laplace'scher Entwicklungssatz. Nehmen wir mal an: Du hast Dich für Entwicklung nach der zweiten Zeile entschieden: i=2. Einsetzen in die Formel ergibt: \[ \text{det}\left( M \right) = \underset{i=1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \, {(-1)^{2+j}m_{2j}|M_{2j}|} \] So! Jetzt setzt Du \(j\)=1 und gehst bis zur letzten Spalte \(j\)=3. Dabei addierst Du alle Spalten \(j\) auf: \[ \text{det}\left( M \right) = (-1)^{2+1}m_{21}|M_{21}|+(-1)^{2+2}m_{22}|M_{22}|+(-1)^{2+3}m_{23}|M_{23}| \] Die entstandenen Unterdeterminanten \( |M_{21}|, |M_{22}|, |M_{23}| \) berechnest Du mit der Laplace-Formel genauso; bis Du am Ende reine Zahlen hast, die Du zusammenrechnen kannst. Das Ergebnis ist Determinante \( \text{det}\left( M \right) \) der jeweiligen 3x3-Matrix.
Wichtige Inhalte in diesem Video Der Laplacesche Entwicklungssatz hilft dir, Determinanten zu berechnen. Du möchtest schnell verstehen, wie das funktioniert? Dann schau dir unser Video dazu an! Laplacescher Entwicklungssatz einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:12) Der Laplacesche Entwicklungssatz (auch Laplace Entwicklung, Laplacesche Entwicklung) ist ein Verfahren mit dem du die Determinante einer nxn Matrix berechnen kannst. Entwicklungssatz von laplace in beachwood. Die Idee dabei ist, dass du die Determinante einer Matrix auf eine kleinere Determinante bringst. Damit kannst du zum Beispiel eine 4×4 Matrix zunächst auf eine 3×3 Matrix umformen und dann auf eine 2×2 Matrix. Anschließend kannst du dann von dieser Matrix einfach die Determinante berechnen. Laplacescher Entwicklungssatz, wenn du nach der i-ten Zeile entwickelst oder, wenn du nach der j-ten Spalte entwickelst. Dabei ist der Wert der i-ten Zeile und j-ten Spalte und die Matrix, die durch das Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix A entsteht.
Beispiele für Laplace Experimente Beispiel 1 Das erste "Laplace-Beispiel" ist ein wirklicher Klassiker in der Wahrscheinlichkeitsrechnung: das einmalige Werfen eines Würfels. Ein normaler Würfel hat sechs Seiten, die mit den Zahlen 1 bis 6 beschriftet sind. Jede Zahl hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, gewürfelt zu werden. Entwicklungssatz von laplace von. Würfel: alle möglichen Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten Jede Zahl wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $P(E) = \frac {1}{6} \approx 16, 7 \%$ gewürfelt.
Außerdem kannst du aus der Matrix A ablesen, dass ist. Damit erhältst du für den ersten Summanden Spalte 2: Gehe nun über zur zweiten Spalte. Um die Untermatrix zu bekommen streichst du die erste Zeile und die zweite Spalte von A Spalte 2 Du erhältst damit. Berechne nun die Determinante der Matrix. Der zweite Summand lautet mit also. Spalte 3: Wiederhole das Ganze noch für die dritte Spalte. Du erhältst die Untermatrix durch das Streichen der ersten Zeile und der dritten Spalte. Spalte 3 Sie lautet somit. Berechne nun wieder die Determinante der Matrix. Damit hast du nun den dritten Summanden der Formel des Laplaceschen Entwicklungssatzes bestimmt. Insgesamt lautet die Determinante der Matrix A also. Der Laplace'sche Entwicklungssatz | Aufgabensammlung mit Lösungen & Th. Bemerkung: Um das Vorzeichen einfacher zu bestimmen, kannst du dir auch einfach merken, dass bei jedem Wechsel einer Zeile oder Spalte, sich auch das Vorzeichen ändert. Matrix nach einer Spalte entwickeln Schau dir als nächstes Beispiel die Matrix an. Diesmal entwickeln wir die Determinante nach der zweiten Spalte, womit die Determinante von A wie folgt lautet: Du bestimmst also als erstes die Untermatrizen, und, indem du die zweite Spalte und die entsprechende Zeile streichst.
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