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Bei der Kurvendiskussion untersucht man den Funktionsgraphen auf seine geometrischen Eigenschaften. Kurvendiskussion: Krümmungsverhalten – MathSparks. Kurvendiskussion: Übersicht, Extrempunkte, Wendepunkte, Krümmung, Monotonie, Nullstellen Die Kurvendiskussion ist ein Teilgebiet der Differenzialrechnung und steht in starkem Zusammenhang mit der Ableitung, mit deren Hilfe sich viele Eigenschaften ermitteln lassen. Für eine vollständige Kurvenuntersuchung werden zumindest die ersten drei Ableitungen der zu betrachtenden Funktion benötigt. Es bietet sich also an, diese zum Beginn alle aufzustellen.
Aus einem Funktionsplot kann man immer nur Aussagen über den abgebildeten Ausschnitt des Koordinatensystems ablesen, z. B. für den Bereich 1 ≤ x ≤ 3. Ob der Graph einer Funktion aber z. bei noch einmal einen "Schlenker" macht oder nicht, darüber kann nur auf der Grundlage einer Kurvendiskussion eine zuverlässige Aussage getroffen werden. Kurvendiskussion - Anwendung Differenzialrechnung einfach erklärt | LAKschool. genauer hinzusehen: ein augenscheinliches lokales Minimum kann sich – bei entsprechender Vergrößerung – als ein lokales Maximum herausstellen. Vergleichen wir einmal die beiden Plots der Funktion f(x)=2∙(x-2) 4 -0, 01⋅(x-2) 2 +2 in nebenstehenden Abbildungen 1 bzw. 2. Eine Kurvendiskussion deckt solche Phänomene stets auf, ob sie sich im Molekülbereich oder in astronomischen Dimensionen abspielen: weil eine Kurvendiskussion nicht – wie ein Funktionsplot – von der Auflösung abhängt. Zudem lässt sich eine Kurvendiskussion auch ganz ähnlich bei Funktionen durchführen, die von vielen Variablen abhängen (also z. von x 1; x 2; x 3 anstelle von nur x). Eine Visualisierung einer derartigen Funktion in 2D oder 3D ist nicht mehr möglich.
Probiere die Regeln gleich an einem Beispiel aus! Angenommen du hast die Funktion gegeben. Wo liegt ihr Wendepunkt? Wie ändert sich dort die Krümmung? hritt: Zweite Ableitung gleich 0 setzen. hritt: Dritte Ableitung bilden und Vorzeichenwechselkriterium beachten! hritt: y-Wert berechnen. Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung - Studienkreis.de. Die Funktion f(x) hat also einen Wendepunkt bei (2|1). Der Graph wechselt dort von rechts- zu links-gekrümmt. War doch gar nicht so schwer, oder? Wertebereich bestimmen im Video zur Stelle im Video springen (04:55) Der Wertebereich W sind alle y-Werte, die du ausrechnen kannst, wenn du alle erlaubten x-Werte in deine Funktion f(x) einsetzt. Die Wertemenge enthält also alle y-Werte, welche dir deine Funktion geben kann. Zum Video Wertebereich Die Funktion kann zum Beispiel keine Werte kleiner als 2 haben. Gleichzeitig hat sie aber keine Begrenzung nach oben. Mit f(x) kannst du also y-Werte zwischen 2 und Unendlich ausrechnen. Ableiten bestimmter Funktionen Häufig musst du auch Funktionen diskutieren, die eine e-Funktion, Logarithmus, Wurzeln oder trigonometrische Funktionen besitzen.
Erklärung Das Monotonieverhalten Das Monotonieverhalten soll häufig im Kontext von Kurvendiskussionen oder anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen bestimmt werden. Die Monotonie einer Funktion beschreibt dabei den Verlauf des zugehörigen Graphen der Funktion: Du sollst also entscheiden, ob (oder auf welchen Intervallen) der Graph der Funktion monoton steigt oder monoton fällt. Gegeben ist eine Funktion mit zugehörigem Graphen. Das Monotonieverhalten von lässt sich wie folgt an der ersten Ableitung ablesen: Die Monotonie von kann sich nur an Definitionslücken von und Nullstellen von ändern. Der Graph der Funktion ist auf ganz monoton steigend, denn: Der Graph der Funktion ist im Bereich monoton fallend, denn: Die Graphen der entsprechenden Funktionen sind in den nachfolgenden Schaubildern abgebildet. Aufgaben Aufgabe 1 - Schwierigkeitsgrad: Ein Patient nimmt zweimal täglich zu einer festgelegten Uhrzeit ein Medikament ein. Die Konzentration des Medikaments im Blut kann näherungsweise durch eine Funktion bestimmt werden ( in Stunden nach der ersten Einnahme, in).
Rechnerisch bestimmen wir dies mit der zweiten Ableitung, in die wir x = 1 einsetzen. Hochpunkt oder Tiefpunkt: f''(x) = 2 | x = 1 f''( 1) = 2 2 ist größer als 0, daher Tiefpunkt. 5. Monotonieverhalten Das Monotonieverhalten gibt an, in welchen Intervallen der Funktionsgraph monoton steigend oder monoton fallend ist. Hierbei hilft uns die erste Ableitung, denn sind deren Funktionswerte größer 0 (also \( f'(x) \gt 0 \)), dann ist der Graph monoton steigend. Sind die Funktionswerte der ersten Ableitung jedoch kleiner 0 (also \( f'(x) \lt 0 \)), dann ist der Graph monoton fallend. Siehe hierzu auch noch mal: Grafisches Ableiten und Monotonie bei Funktionen. Monotonieverhalten des Graphen im Koordinatensystem. Beispiel: Die Monotonie wird mit Intervallen angegeben:]-∞; 0] monoton fallend [0; +∞[ monoton steigend 6. Wendepunkte Wendepunkte sind Punkte des Graphen, bei denen sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Ab diesem Punkt wechselt der Graph von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve oder von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve.
Stelle dir vor, du sollst das Krümmungsverhalten von bestimmen. Finde die zweite Ableitungen und du bist fertig: Du hast es aber nicht immer so einfach wie mit diesem Beispiel. Manche Funktionen können ihr Krümmungsverhalten nämlich ändern. Mehr dazu im nächsten Abschnitt! Wendepunkte berechnen im Video zur Stelle im Video springen (04:09) Das Krümmungsverhalten einer Funktion kann sich auch ändern. Das passiert an einem Wendepunkt. In dem Beispiel ist der rote Graph zuerst rechts-gekrümmt. Nach dem Wendepunkt ist er links-gekrümmt. Rechts-Links-Wendepunkt W: Vor W ist der Graph rechts-gekrümmt (grün) und nach W ist der Graph links gekrümmt (orange) Die Wendepunkte findest du mit diesen 3 Schritten: Wendepunkte bestimmen Notwendige Bedingung: Die zweite Ableitung gleich 0 setzten. Hinreichende Bedingung: Die dritte Ableitung darf nicht 0 sein. Außerdem gibt es Links-Rechts- und Rechts-Links-Wendepunkte. Unterscheide sie mit der dritten Ableitung! y-Werte berechnen: Setzte die Wendestelle in die Funktion ein.
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