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Es gibt keinen größeren Kardinal (bei der oben eingeführten Bedeutung gibt es keine Menge, in die eine Menge injiziert werden könnte). In Gegenwart insbesondere des Axioms der Wahl ist es dank des Satzes von Zermelo möglich, Kardinalzahlen als bestimmte Ordnungszahlen zu definieren. In ZFC Satz Theorie (mit Auswahlaxiom), Cantors Satz zeigt, dass es kein größerer Kardinal auch in diesem Sinne. Dieses letzte Ergebnis kann jedoch ohne Verwendung des Axioms der Wahl angegeben und demonstriert werden. Satz von castor web. Der Beweis verwendet auch diagonales Denken, beinhaltet jedoch direkt den Begriff der guten Ordnung (siehe Hartogs aleph (Zahl) und Ordnungszahl). Wir können auch den Satz von Cantor verwenden, um zu zeigen, dass es keine Menge aller Mengen gibt (wir sprechen manchmal von Cantors Paradoxon, zumindest in einer Mengenlehre, die die Entwicklung dieser Begriffe ermöglicht), da dies alle seine Teile umfassen würde. Wir hätten daher eine Injektion aller seiner Teile in dieses Set, was absurd ist. Dieses Ergebnis ergibt sich jedoch direkter aus dem Paradoxon der Menge von Mengen, die nicht zueinander gehören: Die Existenz einer Menge aller Mengen ermöglicht es, diese zu formalisieren, und führt daher zu einem Widerspruch in der Vorhandensein des einzigen Schemas von Axiomen des Verstehens (oder der Trennung).
Tatsächlich verwendet dieses Paradoxon aufgrund von Russell und unabhängig von Zermelo eine Argumentation, die der für Cantors Theorem sehr nahe kommt, und Russell hat darüber hinaus erklärt, dass er es entdeckt hat, indem er den Beweis dafür analysiert hat. Das Argument des Satzes von Cantor bleibt richtig, wenn f eine Karte von E in einer Menge ist, die alle Teile von E als Elemente hat und nur Mengen für Elemente hat. Satz von Cantor - Unionpedia. Dies ist der Fall, wenn E die Menge aller Mengen ist und wir für f die Identität über E wählen können (wir müssen nicht mehr über die Menge der Teile sprechen). Russells Konstruktion erscheint dann als Neuformulierung von Cantors Argumentation. Kontinuierliche Hypothese Es gibt eine andere Methode, um zu zeigen, dass es keinen größeren Kardinal gibt: Die Hartogs-Ordnungszahl einer Menge ist streng größer als die der ursprünglichen Menge. Wenn der Startsatz der der natürlichen Zahlen N ist, ist die Übereinstimmung zwischen diesen beiden Methoden die Kontinuumsannahme aufgrund desselben Cantors.
Da M=f(a) ist dies aber genau dann der Fall, wenn a nicht in M liegt. Das ist nun ein Widerspruch!
Ok, ich habe es jetzt glaube ich halbwegs verstanden. Das Problem ist, dass math. Beweise oft sehr verkürzt sind und viele Hintergrundannahmen weglassen, so dass ein Laie (ohne Einarbeitung) quasi keine Chance hat. Ich versuch's mal: 1. Gegeben sei die Menge X mit den Elementen x und die Potenzmenge P(X) mit allen Teilmengen von X. 2. Allen x von X kann nur und genau die entsprechende Teilmenge {x} von P(X) zugeordnet werden (Injektion). 3. Wenn wir geistig hier kurz innehalten, dann gibt es also wg. 2. kein Element x in X mehr, welches nicht einem Element von P(X) zugeordnet ist. 4. Jetzt konstruieren wir eine Menge B: {x:elem: X | x aus X ist keinem Element in P(X) zugeordnet}. Diese Menge ist in jedem Fall Element von P(X), weil sie entweder leer ist und die leere Menge ist immer Element der Potenzmenge oder es ein x_B von X gibt und dann wäre B die entsprechend zuordbare Teilmenge in P(X). Satz von cantor photo. 5a(Pippen). Es gilt nun: Entweder es gibt kein solches x_B, dann ist B die leere Menge, Element von P(X) und da alle x aus X bereits "verbraten" sind (2.
↑ (en) Bertrand Russell, Die Prinzipien der Mathematik, Band 1, CUP, 1903, Absätze 346 und 347, S. 364-366 (Buch auch verfügbar auf der University of Michigan Website). ↑ (de) Ernst Zermelo, " Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. Satz von Cantor - frwiki.wiki. I ", in Mathematische Annalen, vol. 65, 1908, p. 261-281, englische Übersetzung in Jean van Heijenoort, Von Frege nach Gödel: Ein Quellenbuch in mathematischer Logik, 1879-1931, Harvard Univ. Press, 1967 ( ISBN 978-0-67432449-7), p. 199-215. Mathematikportal
Eine passende Bezeichnung für den Äquivalenzsatz wäre Cantor-Dedekindscher Äquivalenzsatz oder Cantor-Dedekind-Bernsteinscher Äquivalenzsatz. Zudem hat Bernstein darauf hingewiesen, dass Cantor selbst die Bezeichnung "Äquivalenzsatz" vorgeschlagen habe. Satz Das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem lautet: Sei eine Menge gleichmächtig zu einer Teilmenge einer Menge, und sei gleichmächtig zu einer Teilmenge von. Dann sind und gleichmächtig. Dabei heißen zwei Mengen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. Ausgedrückt durch die Mächtigkeiten von lautet das Theorem: Aus folgt. Dabei gilt genau dann, wenn gleichmächtig sind, und gilt genau dann, wenn gleichmächtig zu einer Teilmenge von ist, das heißt, wenn es eine injektive Abbildung von in gibt. Ausgedrückt durch die Eigenschaften von Funktionen lautet das Theorem: Seien Mengen mit einer Injektion und einer Injektion. Dann existiert eine Bijektion. Satz von cantor obituary. Beweisidee Im Folgenden ist hier eine Beweisidee gegeben. Definiere die Mengen:,,.