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empfiehlt: 17. Jan 2011 | Kriegsspiele | | 39. 012x gespielt... Kriegsschiffe zerstören ist ein Flash Spiel. Der Flash Player wurde im Januar 2021 deaktiviert. Wir emulieren das Spiel jetzt aber es kann zu Fehlern kommen.
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Zuerst beantworten wir dir einmal die Frage, was denn eine Linearkombination überhaupt ist. Eine Linearkombination erhältst du, wenn du die Summe des Vielfachen von Vektoren bildest. Folgende Formel sagt aus, dass der Vektor die Linearkombination aus den Vielfachen der Vektoren ist. Du kannst diese Formel nicht nur für zwei Vektoren verwenden, sondern auch für beispielsweise drei oder vier Vektoren: Lineare (Un-)Abhängigkeit Sicherlich hast du schon mal etwas über lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit gehört: Die beiden Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn ist. In die Formel eingesetzt gilt also, wenn die Summe aus den Vektor ergibt, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Falls gilt, dann sind die Vektoren linear abhängig. Das kannst du natürlich auch auf mehr als zwei Vektoren anwenden. Dies gestaltet sich allerdings etwas schwieriger. Im nächsten Schritt zeigen wir dir, wie du das trotzdem ganz easy lösen kannst. ☺ Linearkombinationen und das lineare Gleichungssystem Falls du mehr als zwei Vektoren auf lineare (Un-)Abhängigkeit prüfen musst, dann musst du ein Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen.
Lineare Unabhängigkeit bzw. lineare Abhängigkeit macht eine Aussage darüber, ob ein Vektor als lineare Kombination einer der anderen ausgedrückt werden kann. Definition Sei S eine Menge von Vektoren im Vektorraum V dann hat die Vektorgleichung immer die triviale Lösung (daher: alle Koeffizienten sind Null; damit ist die Summe der Produkte auch Null) c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0 Allerdings existieren auch oft nicht triviale Lösungen, daher Lösungen, bei denen nicht alle Koeffizienten gleich Null sind. Eine Vektorgleichung, die mehr als nur die triviale Lösung hat, ist linear abhängig. Hat eine Vektorgleichung hingegen nur die eine triviale Lösung (bei der alle Koeffizienten Null sind), so ist sie linear unabhängig. Beispiel Ist die folgende Menge an Vektoren linear unabhängig? Da der Vektor v 1 als lineare Kombination der anderen beiden Vektoren geschrieben werden kann, sind die Vektoren nicht linear abhängig, also linear unabhängig. Geometrische Betrachtung Zwei Vektoren Drei Vektoren Auch für drei Vektoren gilt: sind sie koplanar, dann sind sie auch linear abhängig.
In der grafischen Darstellung gilt, dass zwei Vektoren im $\mathbb{R}^3$ genau dann linear abhängig sind, wenn diese parallel zueinander sind. 1. Anwendungsbeispiel Dazu betrachten wir zwei Vektoren im $\mathbb{R}^3$. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2, 1, 0)$ und $\vec{b} = (3, 2, 4)$. Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander? Man kann hier auch ohne Berechnung erkennen, dass die beiden Vektoren linear unabhängig voneinander sind, da der Vektor $\vec{a}$ an der dritten Stelle eine Null enthält und der Vektor $\vec{b}$ an dieser Stelle keine Null aufweist. Wir wollen aber die Berechnung durchführen, um aufzuzeigen, wie die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit rechnerisch bestimmt wird. Berechnung: Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind voneinander unabhängig, wenn sich der Vektor $\vec{a}$ als Linearkombination des Vektors $\vec{b}$ darstellen lässt: $\vec{a} = \lambda \vec{b}$ $(2, 1, 0) = \lambda (3, 2, 4)$ Gleichungssystem aufstellen: $2 = 3 \lambda$ $\Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$ $1 = 2 \lambda$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$ $0 = 4 \lambda$ $\Rightarrow \lambda = 0$ Da $\lambda$ nicht überall denselben Wert annimmt (wobei dieser ungleich null sein muss) sind die beiden Vektoren voneinander unabhängig.
Zusätzlich sind drei Vektoren allerdings auch linear abhängig, wenn durch Strecken bzw. Stauchen (also durch Verlängern oder Verkürzen der Vektoren) eine Vektorkette gebildet werden kann. In dem Beispiel oben (zum Abspielen anklicken), sehen wir, wie drei koplanere Vektoren so gestreckt bzw. gestaucht werden können, um eine Vektorkette zu bilden Die oberen drei Vektoren sind in linear unabhängig: sie sind weder koplanar, noch lässt sich aus ihnen eine Vektorkette bilden Daraus folgt auch, dass drei Vektoren in immer linear abhängig sein werden. Allgemeiner gesagt: mehr als n Vektoren in sind immer linear abhängig. Die rechnerische Erklärung hierfür findet sich in dem Abschnitt unten. Determinante zur Bestimmung linearer Unabhängigkeit Eine weitere Möglichkeit, lineare Unabhängigkeit zu überprüfen, gibt uns die Determinante. Konfiguriert man eine Matrix entsprechend mit den Komponenten der Vektoren, wie unten beschrieben, dann ist die Determinante eine einfache und elegante Möglichkeit, lineare Unabhängigkeit zu bestimmen.
Anzeige Lineare Algebra | Matrizen | Determinanten | Gleichungssysteme | Vektoren Als Lineare Gleichungssysteme bezeichnet man ein System aus Gleichungen der Form a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 +... =b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 +... =b 2,.... Ein solches System enthält mehrere Unbekannte x i. Das System ist lösbar für n Unbekannte bei n linear unabhängigen Gleichungen. Die Koeffizienten der Gleichungen werden in Form einer n-dimensionalen Matrix aufgeschrieben, die Lösungen als eindimensionale Matrix. Die erweiterte Koeffizientenmatrix, welche hier verwendet wird, trennt diese beiden durch einen Strich. Größe: | Nachkommastellen: () Umformungen: * + Tausche mit Determinanten: = x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = | Impressum & Datenschutz | English: Linear Algebra Anzeige
Im linken Textfenster werden die Gleichungen zeilenweise eingegeben, und zwar so viele, wie insgesamt Variablen enthalten sind. Es ist nicht erforderlich, da in jeder Gleichung alle Variable auftauchen, auch ist die Reihenfolge egal. Erforderlich ist lediglich, da links und rechts vom Gleichheitszeichen eine lineare Summe aus Variablen (mit Vorzeichen und/oder Faktoren) und eventuell einem absolutes Glied (Zahl ohne Variable) steht. Neu: Es knnen auch Bruchzahlen eingegeben werden (z. B. : 2/3x). Geklammerte Terme, Bruchterme oder Potenzen knnen nicht verarbeitet werden. Die Variablennamen mssen einzelne Buchstaben sein. Das gesamte Alphabet (ohne Umlaute) steht zur Verfgung, Gro- und Kleinschreibung wird nicht unterschieden. Multiplikationszeichen (* oder ) sind nicht erforderlich. Zufallsbeispiel erzeugen... und lsen
2. Anwendungsbeispiel Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (4, 2, 1)$ und $\vec{b} = (8, 4, 2)$. Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander? Hier können wir bereits erkennen, dass beide Vektoren linear abhängig voneinander sind, weil der $\vec{b}$ ein Vielfaches des Vektors $\vec{a}$ entspricht. Wir führen die Berechnung durch: Berechnung: Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind voneinander unabhängig, wenn sich der Vektor $\vec{a}$ als Linearkombination des Vektors $\vec{b}$ darstellen lässt: $\vec{a} = \lambda \vec{b}$ $(4, 2, 1) = \lambda (8, 4, 2)$ Gleichungssystem aufstellen: $4 = 8 \lambda$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$ $2 = 4 \lambda$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$ $1 = 2 \lambda$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$ Da $\lambda$ überall den selben Wert ergibt und dieser ungleich null ist, sind die Vektoren voneinander abhängig. Wird der Vektor $\vec{b}$ mit $\lambda = \frac{1}{2}$ multipliziert, so ist das Ergebnis der Vektor $\vec{a}$.