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Sind lineare Abbildungen Kommutativ? Die Verkettung linearer Abbildungen ist nicht kommutativ, d. i. Allg. Ist jede lineare Abbildung surjektiv? Da f: V → W injektiv ist, gilt nach Satz 7. 19 a) dim(V) ≤ dim(W). Falls dim(V) = dim(W) gilt, gilt gemäß Satz 7. 19 b), dass f: V → W ebenfalls surjektiv ist. Daher ist für dim(V) = dim(W) jede lineare injektive Abbildung ebenfalls surjektiv. Was bedeutet C linear? Definition (1. 6) Eine R-lineare Abbildung L: C → C heißt C–linear, wenn (1. 5) (ii) sogar für alle λ ∈ C gilt. Abbildungen sind. Dies sind die so genannten Cauchy – Riemannschen Differential- gleichungen. Sind lineare Abbildungen stetig? SATZ 1. 1. Sei T: V → W eine lineare Abbildung zwischen normierten Vektorräumen. Die Abbildung ist stetig genau dann, wenn es ein L > 0 gibt, so dass ||T(v)||W ≤ L · ||v||V für alle v ∈ V gilt. Dann ist jede lineare Abbildung T: V → W stetig. Ist eine lineare Funktion stetig? Lineare Funktionen gehören zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik.
Eine Abbildung F: V → W heißt K-linear (bzw. linear), wenn (L1) F(v + w) = F(v) + F(w) ∀ v, w ∈ V (L2) F(λv) = λF(v) ∀ v ∈ V, ∀ λ ∈ K. D. h. eine lineare Abbildung führt eine Linearkombination von zwei Vek- toren in V in die entsprechende Linearkombination der Bildvektoren über. Ist ein Homomorphismus linear? Man sagt dann, dass eine lineare Abbildung mit den Verknüpfungen Vektoraddition und skalarer Multiplikation verträglich ist. Es handelt sich somit bei der linearen Abbildung um einen Homomorphismus (strukturerhaltende Abbildung) zwischen Vektorräumen. Was bedeutet R linear? R-linear bedeutet also einfach nur, dass deine Skalare reell sind. Daher ist die Abbildung linear. b) (x1, x2) -> (x1+1, x2+1). Sind lineare Abbildungen immer Injektiv? Genau dann ist fA injektiv, wenn die Spalten von A linear unabhängig sind. Genau dann ist fA surjektiv, wenn die Spalten von A den Raum Km erzeugen. Genau dann ist fA bijektiv (also ein Isomorphismus, wenn die Spalten von A eine Basis bilden, also genau dann, wenn die Matrix A invertierbar ist.
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