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Da der Zählergrad genauso groß ist wie der Nennergrad, entspricht der Grenzwert dem Quotienten der Koeffizienten vor den Potenzen mit den höchsten Exponenten: $$ \lim_{x\to+\infty} \frac{{\color{Red}3}x^2+x-4}{{\color{Red}2}x^2-5} = \frac{{\color{Red}3}}{{\color{Red}2}} = 1{, }5 $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 10 & 100 & 1. Grenzwert gebrochen rationale funktionen in de. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 1{, }57 & \approx 1{, }505 & \approx 1{, }5005 & \cdots \end{array} $$ Beispiel 3 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x^2-4}{2x-5} $$ für $x\to+\infty$. Da der Zählergrad größer ist als der Nennergrad und $\frac{a_n}{b_m} > 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to +\infty$ gegen $+\infty$: $$ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2-4}{2x-5} = +\infty $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 10 & 100 & 1. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 19{, }7 & \approx 153{, }8 & \approx 1503{, }8 & \cdots \end{array} $$ Grenzwert x gegen minus unendlich * Gilt $n > m$ (Zählergrad größer Nennergrad) hängt es von verschiedenen Faktoren ab, ob die gebrochenrationale Funktion gegen $+\infty$ oder gegen $-\infty$ strebt.
Hi, a) Das ist eigentlich schon Begründung genug. Wenn Du tatsächlich noch was hinschreiben willst, so kannst Du mit der je höchsten Potenz in Zähler und Nenner ausklammern und kürzen. Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen. Du solltest dann schnell sehen was passiert;). b) Selbiges (Zur Kontrolle: -5/ Zählergrad dem Nennergrad entspricht, brauchen wir nur die Vorfaktoren der höchsten Potenzen) c) Hier kannst Du Zähler und Nenner faktorisieren (Nullstellen bestimmen). Dann Kürzen und Einsetzen. --> lim_(x->3) ((x-3)(x+2))/((x-3)(x+1)) = lim (x+2)/(x+1) = 5/4 d) Selbiges: --> lim ((x+3)(x+2))/((x+3)(x-1)) = 1/4 Grüße
In der Schulmathematik untersucht man das Verhalten von Funktionswerten f(x) einer Funktion f: Dabei unterscheidet man das Verhalten von f(x) für x gegen Unendlich ( Definition 1) und das Verhalten von f(x) für x gegen eine Stelle x0 ( Definition 2), wobei jeweils ein Grenzwert existieren kann oder nicht. Formal wird das mithilfe der Limesschreibweise dargestellt. Das Grenzwertverhalten von Funktionen kann gut an gebrochenrationalen Funktionen (vgl. Grenzwert gebrochen rationale funktionen in 3. Skript) dargestellt werden. Grenzwerte bei gebrochenrationalen Funktionen – Skript
Wir müssen noch unterscheiden, ob die Funktion gegen plus oder minus unendlich strebt: $\frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} > 0$ Der Quotient der Leitkoeffizienten von Zähler und Nenner ist positiv. Die Funktion strebt somit gegen: $\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ Fall 2: $x \to - \infty$ Wir stellen fest, ob Zähler- und Nennergrad gerade oder ungerade sind: $n = 3$ ungerade Zählergrad und Nennergrad sind verschieden. Wir wissen, dass der Quotient der Leitkoeffizienten positiv ist: $\frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} > 0$ Daraus folgt: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = - \infty$ Die Funktion $f(x)$ strebt für: $x \to +\infty$ gegen plus unendlich $x \to -\infty$ gegen minus unendlich
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