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Was ist der Differentialquotient? previous: Der Differentialquotient up: Der Differentialquotient next: Interpretation des Differentialquotienten Ein Auto fhrt auf der A1 von Wien nach Salzburg. Wir knnen diese Fahrt durch eine Funktion beschreiben, die zu jedem Zeitpunkt (Stunden) die Entfernung (Kilometer) von Wien angibt. Wie gro ist die mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeugs zwischen zwei Zeitpunkten und? L SUNG: oder Dieser Ausdruck heit Differenzenquotient. Graphische Bedeutung des Differenzenquotienten: Wie gro ist die momentane Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt? Differenzenquotient und Differenzialquotient - Ableitung einfach erklärt!. Wir knnen die mittlere Geschwindigkeit des Autos zwischen den Zeitpunkten und fr ein mglichst kleines berechnen. Je kleiner dieses ist desto eher wird der Differenzenquotient mit der Momentangeschwindigkeit bereinstimmen. D EFINITION (D IFFERENTIALQUOTIENT) Falls der Limes existiert, so heit die Funktion differenzierbar an der Stelle und dieser Grenzwert Differentialquotient oder (erste) Ableitung der Funktion an der Stelle.
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Differenzenquotient ist. Einordnung Bei den linearen Funktionen sind wir zum ersten Mal dem Begriff Steigung einer Funktion begegnet. Wir kennen bereits die Steigungsformel, $$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$ mit deren Hilfe man aus zwei beliebigen Punkten $\text{P}_0(x_0|y_0)$ und $\text{P}_1(x_1|y_1)$ die Steigung $m$ der Gerade berechnen kann. Interessant ist, dass eine Gerade in jedem ihrer Punkte die gleiche Steigung besitzt, $m$ also konstant ist. Wir merken uns: Quadratische Funktionen kennen wir auch schon: Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine spezielle Kurve namens Parabel. Was ist ein differenzenquotient die. Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie die Steigung einer Kurve (= gekrümmter Graph) definiert ist. Es leuchtet intuitiv ein, dass eine Kurve in zwei beliebigen Punkten $\text{P}_0$ und $\text{P}_1$ – außer in Sonderfällen – eine unterschiedliche Steigung besitzt. Die Steigung $m$ nimmt folglich keinen konstanten Wert an. Wir merken uns: Fraglich bleibt, was man unter der Steigung einer Kurve überhaupt versteht und wie man diese berechnet.
Man sagt: Der Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn der Abstand der Punkte gegen Null geht, ist die Tangentensteigung.
Der Differentialquotient ist definiert als der Grenzwert des Differenzenquotienten (mit dem er gerne verwechselt wird! ). Er kann auch als die Steigung der Tangente an der Stelle x und damit als die momentane Änderungsrate interpretiert werden. Die Ableitung einer Funktion kann über den Differentialquotienten hergeleitet werden. Definition Geometrische Herleitung In der Abbildung rechts kann man sehen, wie sich der Differentialquotient geometrisch herleiten lässt: die Sekante schneidet den Graph von f noch in zwei Punkten. Was ist ein differenzenquotient en. Durch den Grenzwert wird h immer kleiner. Dadurch rücken die beiden Punkte immer näher. Schließlich wird die Sekante zur Tangente und berührt den Graphen von f nur noch in einem Punkt.
Sei ein offenes Intervall und eine Funktion. Diese Funktion heißt an der Stelle differenzierbar, falls der Grenzwert existiert. Dieser Grenzwert entspricht ja gerade dem Differentialquotienten von an der Stelle und wird wie bereits erwähnt auch als Ableitung von an der Stelle bezeichnet. Sei auf der Menge differenzierbar, so heißt die Funktion Ableitungsfunktion von. Für diese Funktion lässt sich nun wieder der Differentialquotient bestimmen. Exponentialfunktion: Ableitung per Differenzenquotient - so geht's. Diesen nennt man dann die zweite Ableitung von und sie wird häufig mit abgekürzt. Differentialquotient berechnen im Video zur Stelle im Video springen (02:31) Den Differentialquotienten zu einer gegebenen Funktion zu berechnen bedeutet die Ableitung dieser Funktion zu bestimmen. Man sagt die Funktion wird abgeleitet. h-Methode Für die explizite Berechnung der Ableitung ist die eben eingeführte Formulierung des Differentialquotienten meistens unvorteilhaft. Wird allerdings in der Formulierung des Differentialquotienten durch ersetzt, so wird der Grenzübergang zu und es ergibt sich folgende Formulierung des Differentialquotienten: Auf diese Weise ist die explizite Berechnung meistens deutlich einfacher als mit der ursprünglichen Formulierung.
Eine Funktion heit differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt des Definitionsbereichs differenzierbar ist. © 1997, Josef Leydold Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung
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